Ejercicios Resueltos de Probabilidad y Estadística: Cálculo de Eventos y Frecuencias

Soluciones y Correcciones de Ejercicios de Probabilidad

I. Espacios Muestrales y Definición de Sucesos

Ejercicio 5: Espacio Muestral y Eventos

• B) El espacio muestral está formado por los 19 resultados de la derecha.
• C) Sacar dos bolas del mismo color. (Ejemplos de resultados proporcionados en el documento original, aunque la descripción puede ser inconsistente con los resultados listados):
  • RBB
  • RNN
  • BRB
  • BBR
  • BBN

Ejercicio 6: Resultados Posibles (Monedas/Billetes)

Listado de posibles combinaciones de valores monetarios:

• 50 cent, 50 cent, 1€, 1€
• 50 cent, 1€, 50 cent, 2€, 1€, 50 cent, 1€, 2€, 2€, 50 cent, 2€, 1€
• 50 cent, 1€, 50 cent, 2€, 1€, 50 cent, 1€, 1€, 1€, 2€, 2€, 50 cent, 1€

Ejercicio 7: Secuencias de Sucesos (C y X)

• A) CXX, XCX, XXC, XXX, CCC
• B) CXX, XCX, XXC
• C) O (Probablemente se refiere al suceso imposible o al conjunto vacío $\emptyset$)
• D) CXX, XCX, XXC, XXX, CCX, CXC, XCC

II. Tablas de Contingencia y Frecuencias

Ejercicio 10: Televisión por Cable e Inglés

Tabla de frecuencias (Inglés vs. No Inglés / Cable TV vs. No Cable TV):

Ejercicio 11: Baloncesto e Inglés

A) Tabla de frecuencias (Baloncesto vs. No Baloncesto / Inglés vs. No Inglés):

B) 50 alumnos no estudian baloncesto ni estudian inglés (Frecuencia de la intersección de los complementos).

III. Probabilidad Básica y Tipos de Sucesos

Ejercicio 14: Fracciones de Probabilidad

• A) 3/9
• B) 5/9
• C) 5/9
• D) 3/9

Ejercicio 15: Fracciones de Probabilidad

• A) 12/50
• B) 8/50
• C) 4/50
• D) 16/50

Ejercicio 29: Clasificación de Sucesos

• A) Suceso determinista
• B) Suceso aleatorio
• C) Suceso aleatorio
• D) Suceso aleatorio

Ejercicio 30: Definiciones de Resultados y Eventos

• A) Cada uno de los resultados posibles del espacio muestral.
• B) Sacar bola impar o Sacar bola par (Unión de sucesos).
• C) Sacar bola par y Sacar bola impar (Intersección de sucesos).

IV. Álgebra de Sucesos (Operaciones con Conjuntos)

Ejercicio 32: Definición y Operaciones de Sucesos

Definición de los sucesos (asumiendo un espacio muestral $U = \{1, 2, \dots, 8\}$):

• A) $A = \{6, 7, 8\}$, $B = \{2, 4, 6, 8\}$, $C = \{3, 5\}$
• C) Complemento de $C$ ($C^c$): No sacar múltiplo de 3. $C^c = \{1, 2, 4, 5, 7, 8\}$.
  • $A \cap B$: Sacar par mayor de 5. $A \cap B = \{6, 8\}$.
  • $B \cup C$: Sacar par o múltiplo de 3. $B \cup C = \{2, 3, 4, 6, 8\}$.
• D) Operaciones complejas:
  • $E_1$: Sacar menos o igual que 5 o par. $E_1 = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 8\}$.
  • $E_2$: Sacar impar múltiplo de 3. $E_2 = \{3\}$.
  • $E_3$: Sacar menor o igual que 5 y no múltiplo de 3. $E_3 = \{1, 2, 4, 5\}$.
  • $E_4$: Sacar impar o no múltiplo de 3. $E_4 = \{1, 2, 3, 4, 5, 7, 8\}$.

Ejercicio 33: Operaciones de Unión e Intersección

Resultados de operaciones entre sucesos $A$, $B$ y $C$:

• $A \cup B \cup C = \{1, 3, 4, 5, 6\}$
• $(A \cap B) \cap C = \{4, 5\}$
• $A \cup (B \cup C) = \{1, 2, 3, 4, 5\}$
• $A \cup B = \{3, 4, 5, 6\}$
• $A \cap C$: No se puede realizar (Interpretado como el suceso imposible $\emptyset$)

Ejercicio 34: Sucesos en Baraja Española

Definición de sucesos en el contexto de una baraja (40 cartas):

• A) $A \cap C$: Sacar un basto menor que 3 (Cartas 1 y 2 de bastos).
• B) $A \cap B$: Sacar una carta que no sea ni rey ni bastos.
• C) $A \cap B$: Sacar cualquier carta de bastos que no sea el rey.
• D) $C \cap B$: Sacar un rey.

V. Cálculos de Probabilidad

Ejercicio 43: Probabilidad con Dos Dados

Asumiendo el lanzamiento de dos dados (36 resultados posibles):

• a) $P(\text{Suma 10, específica}) = P(\{ (4, 6), (6, 4) \}) = 2/36 = \mathbf{1/18}$.
• b) $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$. $$P(A \cup B) = 11/36 + 2/9 - 1/18 = 11/36 + 8/36 - 2/36 = \mathbf{17/36}$$
• c) $P(\text{Complemento}) = 1 - P(A \cup B)$. $$P(A \cup B)^c = 1 - 17/36 = \mathbf{19/36}$$

Ejercicio 45: Probabilidad sin Reemplazo (Extracciones)

Asumiendo 20 elementos totales (8 de tipo R, 12 de tipo B). Se extraen 3 sin reemplazo.

• a) Probabilidad de sacar 2 de un color y 1 del otro (ej. 2B y 1R, o 2R y 1B). La suma de las tres permutaciones: $$\frac{8}{20} \cdot \frac{12}{19} \cdot \frac{11}{18} + \frac{12}{20} \cdot \frac{8}{19} \cdot \frac{11}{18} + \frac{12}{20} \cdot \frac{11}{19} \cdot \frac{8}{18} = \frac{3168}{6840} = \mathbf{44/95}$$
• b) Probabilidad de que al menos una sea R (Complemento de sacar 3 B): $$1 - P(3B) = 1 - \left( \frac{12}{20} \cdot \frac{11}{19} \cdot \frac{10}{18} \right) = 1 - \frac{11}{57} = \mathbf{46/57}$$
• c) Probabilidad de sacar 3 del mismo color ($P(3R) + P(3B)$): $$\left( \frac{8}{20} \cdot \frac{7}{19} \cdot \frac{6}{18} \right) + \left( \frac{12}{20} \cdot \frac{11}{19} \cdot \frac{10}{18} \right) = \frac{14}{285} + \frac{11}{57} = \mathbf{23/95}$$

Ejercicio 50: Probabilidad en Urna (8 Bolas)

Asumiendo 8 bolas en total (3 de un tipo, 5 de otro; o 2 de cada etiqueta 1, 3, 5, y 2 restantes).

• a) $P(\text{2 bolas B}) + P(\text{2 bolas N})$ (Asumiendo 3B y 5N): $$P(2B) + P(2N) = \left( \frac{3}{8} \cdot \frac{2}{7} \right) + \left( \frac{5}{8} \cdot \frac{4}{7} \right) = \frac{6}{56} + \frac{20}{56} = \frac{26}{56} = \mathbf{13/28}$$
• b) $P(\text{dos bolas 1}) + P(\text{dos bolas 3}) + P(\text{dos bolas 5})$ (Asumiendo 2 de cada etiqueta): $$3 \cdot P(\text{dos de la misma etiqueta}) = 3 \cdot \left( \frac{2}{8} \cdot \frac{1}{7} \right) = \frac{6}{56} = \mathbf{3/28}$$

Ejercicio 57: Probabilidad Condicional

Asumiendo un espacio muestral de 120 resultados.

• a) Probabilidad de la intersección $A$ y $C$: $$P(A \cap C) = \frac{25}{120} = \mathbf{5/24}$$
• b) Probabilidad de $C$ dado $A$: $$P(C|A) = \frac{P(A \cap C)}{P(A)}$$ Si $P(A) = 80/120 = 2/3$: $$P(C|A) = \frac{5/24}{80/120} = \frac{5/24}{2/3} = \frac{5}{24} \cdot \frac{3}{2} = \frac{15}{48} = \mathbf{5/16}$$ (Nota: La notación original $5/24/80 = 5/16 / 120$ ha sido corregida para reflejar el cálculo correcto de la probabilidad condicional).