Ejercicios Resueltos de Probabilidad: Eventos, Intersecciones y Variables Aleatorias

Problema 1: Probabilidad de Ubicación Industrial

Se presenta un escenario donde una industria norteamericana considera ubicarse en Múnich o Bruselas. Se proporcionan las siguientes probabilidades:

• Probabilidad de ubicarse en Múnich: P(M) = 0.7
• Probabilidad de ubicarse en Bruselas: P(B) = 0.4
• Probabilidad de ubicarse en Múnich o Bruselas (o ambas): P(M ∪ B) = 0.8

Cuestiones a Resolver:

1. ¿Cuál es la probabilidad de que la industria se ubique en ambas ciudades?
2. ¿Cuál es la probabilidad de que la industria se ubique en Múnich pero no en Bruselas?
3. ¿Cuál es la probabilidad de que la industria se ubique en Bruselas pero no en Múnich?
4. ¿Cuál es la probabilidad de que la industria no se ubique en ninguna de estas ciudades?

Solución Detallada:

Sea M el evento de que la empresa se ubique en Múnich, y B el evento de que se ubique en Bruselas. Los datos iniciales son:

• P(M) = 0.7
• P(B) = 0.4
• P(M ∪ B) = 0.8

Procedemos a calcular cada probabilidad solicitada:

1. Probabilidad de ubicarse en ambas ciudades (M ∩ B):

   Utilizamos la fórmula de la unión de eventos:

   P(M ∩ B) = P(M) + P(B) − P(M ∪ B)

   P(M ∩ B) = 0.7 + 0.4 − 0.8 = 0.3

2. Probabilidad de ubicarse en Múnich pero no en Bruselas (M ∩ B'):

   Esta es la probabilidad de M menos la intersección de M y B:

   P(M ∩ B') = P(M) − P(M ∩ B)

   P(M ∩ B') = 0.7 − 0.3 = 0.4

3. Probabilidad de ubicarse en Bruselas pero no en Múnich (B ∩ M'):

   Similarmente, es la probabilidad de B menos la intersección de B y M:

   P(B ∩ M') = P(B) − P(B ∩ M)

   P(B ∩ M') = 0.4 − 0.3 = 0.1

4. Probabilidad de no ubicarse en ninguna de estas ciudades (M' ∩ B'):

   Esto es el complemento de la unión de M y B:

   P(M' ∩ B') = P((M ∪ B)') = 1 − P(M ∪ B)

   P(M' ∩ B') = 1 − 0.8 = 0.2

Problema 2: Hábitos de Empleados y Probabilidad

Una empresa cuenta con 100 empleados. Se conocen los siguientes datos sobre sus hábitos:

• Empleados que fuman: 54
• Empleados que consumen bebidas alcohólicas: 68
• Empleados con ambos hábitos: 35

Si se selecciona un empleado al azar, se pide calcular las siguientes probabilidades:

1. Que fume o beba.
2. Que fume, pero no beba.
3. Que beba, pero no fume.
4. Que no fume y no beba.

Solución Detallada:

Sea F el evento de que el empleado seleccionado fume, y B el evento de que el empleado seleccionado beba. Las probabilidades iniciales son:

• P(F) = 54/100
• P(B) = 68/100
• P(F ∩ B) = 35/100

Calculamos cada probabilidad:

1. Probabilidad de que fume o beba (F ∪ B):

   P(F ∪ B) = P(F) + P(B) − P(F ∩ B)

   P(F ∪ B) = 54/100 + 68/100 − 35/100 = 87/100

2. Probabilidad de que fume, pero no beba (F ∩ B'):

   P(F ∩ B') = P(F) − P(F ∩ B)

   P(F ∩ B') = 54/100 − 35/100 = 19/100

3. Probabilidad de que beba, pero no fume (B ∩ F'):

   P(B ∩ F') = P(B) − P(B ∩ F)

   P(B ∩ F') = 68/100 − 35/100 = 33/100

4. Probabilidad de que no fume y no beba (F' ∩ B'):

   P(F' ∩ B') = P((F ∪ B)') = 1 − P(F ∪ B)

   P(F' ∩ B') = 1 − 87/100 = 13/100

Problema 3: Variable Aleatoria en Lanzamientos de Moneda

Sea W la variable aleatoria definida como el número de caras menos el número de águilas en tres lanzamientos de una moneda.

Objetivo:

Listar los elementos del espacio muestral (S) y asignar un valor de W a cada punto muestral.

Solución Detallada:

El espacio muestral (S) para tres lanzamientos de una moneda es:

S = {AAA, AAC, ACA, ACC, CAA, CAC, CCA, CCC}

Donde 'A' representa águila y 'C' representa cara.

Si W = "número de caras menos el número de águilas", podemos construir la siguiente tabla para determinar los valores de W para cada punto muestral:

Por lo tanto, la variable aleatoria W puede tomar los valores: -3, -1, 1 y 3.