Ejercicios Resueltos de Probabilidad: Experimentos, Tratamientos Médicos y Calificaciones

Ejercicio 1: Experimento Repetido

Se repite 20 veces un experimento que tiene éxito el 80% de las veces.

Apartados

1. Calcula la probabilidad de que el experimento sea exitoso las 20 veces.
2. Calcula la probabilidad de que el experimento sea exitoso 15 o más veces.
3. Calcula la probabilidad de que el experimento falle más de cinco y menos de diez veces.
4. Calcula la esperanza y la varianza del número de experimentos exitosos.
5. Si cada experimento exitoso tarda 10 minutos y cada fallo implica una pérdida de 7 minutos, calcula la esperanza y la varianza del tiempo total para repetir el experimento 20 veces.

Solución

Definimos las variables aleatorias:

• X = "Número de veces que el experimento es exitoso" ~ B(20; 0,8)
• Y = "Número de veces que el experimento falla" ~ B(20; 0,2)

Donde B(n, p) representa una distribución binomial con n ensayos y probabilidad de éxito p.

1. P(X = 20) = P(Y = 0) = 0,0115
2. P(X ≥ 15) = P(Y ≤ 5) = 0,8042
3. P(5 < Y < 10) = P(Y ≤ 9) - P(Y ≤ 5) = 0,9974 - 0,8042 = 0,1932
4. E(X) = 20 × 0,8 = 16; Var(X) = 20 × 0,8 × 0,2 = 3,2
5. T = "Tiempo total para repetir el experimento 20 veces"

T = 10X + 7Y = 10X + 7(20 - X) = 3X + 140

E(T) = 3 × E(X) + 140 = 188; Var(T) = 3² × Var(X) = 9 × 3,2 = 28,8

Ejercicio 2: Eficacia de un Tratamiento Médico

Un tratamiento para una enfermedad tiene diferente efectividad según el grupo sanguíneo del paciente. Es efectivo para el 70% de los pacientes del grupo A, el 65% de los del grupo B y el 60% de los de los grupos AB y 0. El 40% de las personas afectadas por esa enfermedad es del grupo A, el 15% es del grupo B, el 5% es del grupo AB y el 40% restante es del grupo 0.

Apartados

1. ¿Cuál es el porcentaje de efectividad del tratamiento sobre el total de afectados?
2. ¿Cuál es la probabilidad de que un paciente en el que el tratamiento ha sido exitoso sea del grupo A?
3. ¿Son independientes el hecho de que el tratamiento sea efectivo y la pertenencia a alguno de los grupos sanguíneos?

Solución

Definimos el suceso E = "El tratamiento es efectivo".

Datos del problema:

• P(E / A) = 0,70
• P(E / B) = 0,65
• P(E / AB) = P(E / 0) = 0,60
• P(A) = 0,40
• P(B) = 0,15
• P(AB) = 0,05
• P(0) = 0,40

1. P(E) = P(E / A) × P(A) + P(E / B) × P(B) + P(E / AB) × P(AB) + P(E / 0) × P(0) = 0,6475
2. P(A / E) = (P(E / A) × P(A)) / P(E) = 0,4324
3. Como P(E / B) y P(E) son aproximadamente iguales, podemos decir que E y B son independientes.

Ejercicio 3: Distribución de Calificaciones

La siguiente tabla muestra las calificaciones de los estudiantes que se presentaron a un examen, agrupadas en intervalos:

Apartados

1. Completa la tabla con límites reales, marcas de clase y frecuencias absolutas acumuladas.
2. Si se requiere un 40% de suspensos, un 30% de aprobados, un 20% de notables y un 10% de sobresalientes, ¿cuáles son las notas que delimitan cada una de estas categorías?

Solución

a) Tabla completa:

b) Cálculo de los límites de las calificaciones:

• Suspensos (40%): 0,40 × 315 = 126. La nota límite es el valor entre el dato 126 y 127, que corresponde al intervalo (50,5 ; 60,5). Se interpola para obtener el valor exacto.
• Aprobados (30%): 0,30 × 315 = 94,5. La nota límite es el dato que ocupa la posición 126 + 94,5 = 220,5.
• Notables (20%): 0,20 × 315 = 63. La nota límite es el dato que ocupa la posición 220,5 + 63 = 283,5.
• Sobresalientes (10%): El resto de estudiantes.

Se debe realizar una interpolación lineal dentro de cada intervalo para determinar las notas de corte exactas.