Ejercicios resueltos de probabilidad: Monedas, daltonismo y más

Ejercicio 10: Lanzamiento de cuatro monedas

Se lanzan cuatro monedas y se sabe que, por lo menos, aparecerán dos caras. ¿Cuál es la probabilidad de que aparezcan exactamente cuatro caras?

Solución:

Primero, definimos los eventos:

• A: Aparecen exactamente cuatro caras.
• B: Aparecen al menos dos caras.

El espacio muestral para el lanzamiento de cuatro monedas tiene 2⁴ = 16 resultados posibles. Los resultados que contienen al menos dos caras son:

{CCXX, CXCX, CXXC, XCCX, XCXC, XXCC, CCXC, CXCC, XCCC, CCCX, CCCC}

Hay 11 resultados posibles para el evento B, por lo que P(B) = 11/16.

El evento A (cuatro caras) solo tiene un resultado posible: {CCCC}.

La intersección de A y B (A ∩ B) es el evento en el que aparecen exactamente cuatro caras, que también es el evento A. Por lo tanto, P(A ∩ B) = 1/16.

La probabilidad condicional de A dado B se calcula como:

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) = (1/16) / (11/16) = 1/11

Por lo tanto, la probabilidad de que aparezcan exactamente cuatro caras, dado que al menos aparecen dos caras, es 1/11.

Ejercicio 11: Probabilidad de daltonismo en hombres y mujeres

Se supone que 5 de cada 100 hombres y 20 de cada 10.000 mujeres son daltónicos. Se elige al azar una persona daltónica. ¿Cuál es la probabilidad de que dicha persona sea hombre?

Solución:

Definimos los eventos:

• A: La persona es hombre.
• B: La persona es mujer.
• F: La persona es daltónica.

Tenemos las siguientes probabilidades:

• P(F|A) = 5/100 = 0.05 (Probabilidad de que un hombre sea daltónico)
• P(F|B) = 20/10.000 = 0.002 (Probabilidad de que una mujer sea daltónica)
• P(A) = 1/2 (Probabilidad de que una persona elegida al azar sea hombre)
• P(B) = 1/2 (Probabilidad de que una persona elegida al azar sea mujer)

Queremos encontrar P(A|F), la probabilidad de que una persona sea hombre dado que es daltónica. Usamos el teorema de Bayes:

P(A|F) = [P(F|A) * P(A)] / [P(F|A) * P(A) + P(F|B) * P(B)]

Sustituyendo los valores:

P(A|F) = (0.05 * 1/2) / (0.05 * 1/2 + 0.002 * 1/2) = 0.025 / (0.025 + 0.001) = 0.025 / 0.026 ≈ 0.9615

Por lo tanto, la probabilidad de que una persona daltónica elegida al azar sea hombre es aproximadamente 96.15%.

Ejercicio 12: Extracción de bolas de una urna

Una urna contiene 5 bolas blancas y 7 negras. Se extraen dos bolas simultáneamente. Supuesto que se sabe que una de las dos bolas es blanca, hallar la probabilidad de que la otra también lo sea.

Solución:

Definimos los eventos:

• A: Ambas bolas son blancas.
• B: Al menos una bola es blanca.

Calculamos las probabilidades:

• P(B) = 1 - P(ambas negras) = 1 - (7/12 * 6/11) = 1 - 42/132 = 90/132 = 15/22
• P(A) = 5/12 * 4/11 = 20/132 = 5/33
• P(A ∩ B) = P(A) = 5/33 (Si ambas son blancas, al menos una es blanca)

Queremos encontrar P(A|B), la probabilidad de que ambas sean blancas dado que al menos una lo es. Usamos la fórmula de probabilidad condicional:

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) = (5/33) / (15/22) = (5/33) * (22/15) = 2/9

También podemos calcularlo usando combinaciones:

• Casos favorables para A: C(5,2) = 10 (formas de elegir 2 bolas blancas de 5)
• Casos favorables para B: C(12,2) - C(7,2) = 66 - 21 = 45 (formas de elegir 2 bolas de 12 menos las formas de elegir 2 bolas negras de 7)

P(A|B) = 10 / 45 = 2/9

Por lo tanto, la probabilidad de que la otra bola también sea blanca, dado que una ya lo es, es 2/9 o aproximadamente 22.22%.

Ejercicio 13: Daltonismo y uso de gafas

En una reunión hay 10 personas, de las cuales 3 son daltónicas y 4 llevan gafas. Se sabe además que la probabilidad de que un daltónico lleve gafas es de 0.6. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar:

a) Sea daltónica y lleve gafas?

b) Sea daltónica o lleve gafas?

Solución:

Definimos los eventos:

• A: La persona es daltónica.
• B: La persona lleva gafas.

Tenemos las siguientes probabilidades:

• P(A) = 3/10
• P(B) = 4/10
• P(B|A) = 0.6 (Probabilidad de que una persona lleve gafas dado que es daltónica)

a) Queremos encontrar P(A ∩ B), la probabilidad de que una persona sea daltónica y lleve gafas. Usamos la fórmula:

P(A ∩ B) = P(B|A) * P(A) = 0.6 * 3/10 = 0.18

Por lo tanto, la probabilidad de que una persona sea daltónica y lleve gafas es 18%.

b) Queremos encontrar P(A ∪ B), la probabilidad de que una persona sea daltónica o lleve gafas. Usamos la fórmula:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = 3/10 + 4/10 - 0.18 = 0.7 - 0.18 = 0.52

Por lo tanto, la probabilidad de que una persona sea daltónica o lleve gafas es 52%.

Ejercicio 14: Cabello y ojos castaños

En una cierta ciudad el 40% de la población tiene cabellos castaños, el 25% tiene ojos castaños y el 15% tiene cabellos y ojos castaños. Se escoge una persona al azar.

i) Si tiene cabellos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga ojos castaños?

ii) Si tiene ojos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos castaños?

iii) ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga ni cabellos ni ojos castaños?

Solución:

Definimos los eventos:

• A: La persona tiene cabellos castaños.
• B: La persona tiene ojos castaños.

Tenemos las siguientes probabilidades:

• P(A) = 0.4
• P(B) = 0.25
• P(A ∩ B) = 0.15

i) Queremos encontrar P(B'|A), la probabilidad de que no tenga ojos castaños dado que tiene cabellos castaños. Usamos la fórmula:

P(B'|A) = 1 - P(B|A) = 1 - [P(A ∩ B) / P(A)] = 1 - (0.15 / 0.4) = 1 - 0.375 = 0.625

Por lo tanto, la probabilidad de que no tenga ojos castaños dado que tiene cabellos castaños es 62.5%.

ii) Queremos encontrar P(A'|B), la probabilidad de que no tenga cabellos castaños dado que tiene ojos castaños. Usamos la fórmula:

P(A'|B) = 1 - P(A|B) = 1 - [P(A ∩ B) / P(B)] = 1 - (0.15 / 0.25) = 1 - 0.6 = 0.4

Por lo tanto, la probabilidad de que no tenga cabellos castaños dado que tiene ojos castaños es 40%.

iii) Queremos encontrar P(A' ∩ B'), la probabilidad de que no tenga ni cabellos ni ojos castaños. Usamos la fórmula:

P(A' ∩ B') = 1 - P(A ∪ B) = 1 - [P(A) + P(B) - P(A ∩ B)] = 1 - (0.4 + 0.25 - 0.15) = 1 - 0.5 = 0.5

Por lo tanto, la probabilidad de que no tenga ni cabellos ni ojos castaños es 50%.