Ejercicios Resueltos de Probabilidad: Sucesos, Independencia y Extracciones

Problema 1: Probabilidad de Sucesos A y B

Dados dos sucesos A y B, se sabe que P(A) = 0.5 y P(A∪B) = 0.8.

A) Probabilidad de que ocurra solo uno de los dos sucesos

La probabilidad de que ocurra solo uno de los dos sucesos se expresa como P((A∩Bᶜ) ∪ (B∩Aᶜ)). Dado que estos dos sucesos (A∩Bᶜ y B∩Aᶜ) son incompatibles, podemos escribir:

P((A∩Bᶜ) ∪ (B∩Aᶜ)) = P(A∩Bᶜ) + P(B∩Aᶜ)

Sabemos que P(A∩Bᶜ) = P(A) - P(A∩B) y P(B∩Aᶜ) = P(B) - P(A∩B). Por lo tanto:

P((A∩Bᶜ) ∪ (B∩Aᶜ)) = P(A) - P(A∩B) + P(B) - P(A∩B) = P(A) + P(B) - 2P(A∩B).

También se nos informa que P(Aᶜ∪Bᶜ) = 0.7. Por las leyes de De Morgan, sabemos que (Aᶜ∪Bᶜ) = (A∩B)ᶜ. Así, podemos determinar P(A∩B):

P((A∩B)ᶜ) = 1 - P(A∩B) = 0.7

De donde, P(A∩B) = 0.3.

Además, sabemos que la fórmula general para la unión de dos sucesos es P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B). Sustituyendo los valores conocidos:

0.8 = 0.5 + P(B) - 0.3

0.8 = 0.2 + P(B)

Determinamos que la probabilidad de B es P(B) = 0.6.

Finalmente, calculamos la probabilidad de que ocurra solo uno de los dos sucesos:

P((A∩Bᶜ) ∪ (B∩Aᶜ)) = P(A) + P(B) - 2P(A∩B) = 0.5 + 0.6 - 2 × 0.3 = 0.5 + 0.6 - 0.6 = 0.5.

B) Condición de Independencia

Para que dos sucesos A y B sean independientes, debe cumplirse que P(A∩B) = P(A) × P(B). Verifiquemos si esta condición se cumple con los valores obtenidos:

0.3 = 0.5 × 0.6

0.3 = 0.3

Efectivamente, la condición se cumple. Por lo tanto, los sucesos A y B son independientes.

Problema 2: Extracción de Bolas de una Bolsa

En una bolsa hay 5 bolas verdes y 4 bolas marrones.

A) Extracción sin reemplazo (simultánea o consecutiva sin reposición)

Nombramos los sucesos:

• Vᵢ: "extraer una bola de color verde en la i-ésima posición; i = 1, 2"
• Mᵢ: "extraer una bola de color marrón en la i-ésima posición; i = 1, 2"

Extraer las bolas simultáneamente equivale a extraer una y, sin reponerla, extraer la otra. La extracción de la segunda bola está condicionada por la primera extracción. Queremos calcular la probabilidad de que ambas bolas sean del mismo color (ambas verdes o ambas marrones):

P((V₁∩V₂) ∪ (M₁∩M₂)) = P(V₁∩V₂) + P(M₁∩M₂)

Aplicando la probabilidad condicionada:

P(V₁∩V₂) + P(M₁∩M₂) = P(V₁) × P(V₂|V₁) + P(M₁) × P(M₂|M₁)

= (5/9) × (4/8) + (4/9) × (3/8)

= 20/72 + 12/72

= 32/72

≈ 0.444 (aproximadamente).

B) Extracción con reemplazo

Ahora, la extracción de la segunda bola se realiza en las mismas condiciones que la primera, lo que implica que hay reemplazo. En este caso, los sucesos son independientes:

P((V₁∩V₂) ∪ (M₁∩M₂)) = P(V₁∩V₂) + P(M₁∩M₂)

Aplicando la independencia:

P(V₁∩V₂) + P(M₁∩M₂) = P(V₁) × P(V₂) + P(M₁) × P(M₂)

= (5/9) × (5/9) + (4/9) × (4/9)

= 25/81 + 16/81

= 41/81

≈ 0.506 (aproximadamente).

Problema 3: Sucesos Incompatibles e Independientes

Sean A y B dos sucesos del mismo experimento aleatorio tales que P(A) = 1/6 y P(B) = 1/3 (asumido para los cálculos).

A) Incompatibilidad e Independencia de Sucesos

Definición de Sucesos Incompatibles

Dos sucesos A y B se dicen incompatibles si no pueden verificarse a la vez, es decir, cuando no tienen ningún suceso elemental en común. Esto se representa como A∩B = ∅ (conjunto vacío), lo que implica P(A∩B) = 0.

Si A y B son incompatibles, entonces P(A∪B) = P(A) + P(B).

En nuestro caso, calculamos la suma de las probabilidades:

P(A) + P(B) = 1/6 + 1/3 = 1/6 + 2/6 = 3/6 = 1/2.

Si asumimos que P(A∪B) = 1/2, entonces los sucesos A y B son incompatibles.

Definición de Sucesos Independientes

Dos sucesos A y B se dicen independientes cuando el resultado obtenido en el primer suceso A no influye en el resultado del segundo suceso B. Esto se expresa como P(B|A) = P(B).

Teniendo en cuenta la fórmula de la probabilidad condicionada, P(B|A) = P(B∩A) / P(A). Si los sucesos son independientes, se deduce que P(A∩B) = P(A) × P(B).

Verifiquemos la condición de independencia con los valores dados:

P(A) × P(B) = (1/6) × (1/3) = 1/18.

Dado que A y B son incompatibles, sabemos que P(A∩B) = 0. Como 0 ≠ 1/18, la condición de independencia no se cumple.

Por lo tanto, los sucesos A y B son incompatibles, pero no son independientes.

B) Probabilidad Condicionada P(A|A∪B)

Calculamos la probabilidad condicionada P(A|A∪B):

P(A|A∪B) = P(A∩(A∪B)) / P(A∪B)

Sabemos que A∩(A∪B) = A. Por lo tanto:

P(A|A∪B) = P(A) / P(A∪B)

Utilizando los valores P(A) = 1/6 y P(A∪B) = 1/2 (obtenido de la suma P(A)+P(B) bajo la suposición de incompatibilidad):

P(A|A∪B) = (1/6) / (1/2) = 1/6 × 2/1 = 2/6 = 1/3.