Ejercicios Resueltos de Probabilidad: Teorema de Bayes y Sucesos Independientes

Resolución de Problemas de Probabilidad Total y Bayes

A continuación, se presentan tres ejercicios detallados sobre el cálculo de probabilidades, aplicando conceptos de sucesos independientes, probabilidad total y el Teorema de Bayes.

Caso 1: Cálculo de Probabilidades en Tiro con Arco (Sucesos Independientes)

Lena y Adrián son aficionados al tiro con arco. Consideremos los siguientes sucesos:

• L: “Lena da en el blanco”. P(L) = 7/11
• A: “Adrián da en el blanco”. P(A) = 9/13

Los sucesos L y A son independientes, ya que la probabilidad de acierto de Lena no afecta la de Adrián. Por lo tanto, P(L ∩ A) = P(L) · P(A).

A) Probabilidad de que ambos den en el blanco

P(Ambos dan en el blanco) = P(L ∩ A) = P(L) · P(A) = (7/11) · (9/13) = 63/143 ≈ 0.44056

B) Probabilidad de que solo Lena dé en el blanco

P(Solo Lena da en el blanco) = P(L ∩ Aᶜ) = P(L) - P(L ∩ A)

P(L ∩ Aᶜ) = (7/11) - (63/143) = 28/143 ≈ 0.1958

C) Probabilidad de que al menos uno dé en el blanco

P(Al menos uno da en el blanco) = P(L ∪ A) = P(L) + P(A) - P(L ∩ A)

P(L ∪ A) = (7/11) + (9/13) - (63/143) = 127/143 ≈ 0.888

Caso 2: Aplicación del Teorema de la Probabilidad Total y Bayes (El Despertador)

El despertador de un trabajador suena en el 80% de los casos. Se definen los sucesos:

• S: Suena el despertador. P(S) = 80% = 0.8
• Sᶜ: No suena el despertador. P(Sᶜ) = 1 - 0.8 = 0.2
• P: Llega puntual al trabajo.
• T: Llega tarde al trabajo.

Datos condicionales:

• Si suena, llega puntual: P(P|S) = 0.9
• Si no suena (Sᶜ), llega tarde: P(T|Sᶜ) = 50% = 0.5

De esto se deduce que la probabilidad de que llegue puntual si no suena es P(P|Sᶜ) = 1 - P(T|Sᶜ) = 1 - 0.5 = 0.5.

A) Probabilidad de que llegue puntual al trabajo P(P)

Aplicando el Teorema de la Probabilidad Total:

P(P) = P(S) · P(P|S) + P(Sᶜ) · P(P|Sᶜ)

P(P) = (0.8) · (0.9) + (0.2) · (0.5) = 0.72 + 0.10 = 0.82

B) Probabilidad de que no sonara dado que llegó tarde P(Sᶜ|T)

Aplicando el Teorema de Bayes. Primero calculamos P(T):

P(T) = 1 - P(P) = 1 - 0.82 = 0.18

P(Sᶜ|T) = [P(Sᶜ) · P(T|Sᶜ)] / P(T)

P(Sᶜ|T) = (0.2) · (0.5) / (1 - 0.82) = 0.10 / 0.18 ≈ 0.556

Caso 3: Probabilidad Condicional (Estudios Superiores y Situación Laboral)

Se analiza la relación entre tener estudios superiores y la situación laboral. Definimos los sucesos:

• S: Tener estudios superiores. P(S) = 30% = 0.3
• Sᶜ: No tener estudios superiores. P(Sᶜ) = 1 - 0.3 = 0.7
• A: Tener empleo.
• Aᶜ: No tener empleo (estar en paro).

Datos condicionales:

• Probabilidad de tener empleo si tiene estudios superiores: P(A|S) = 95% = 0.95
• Probabilidad de tener empleo si no tiene estudios superiores: P(A|Sᶜ) = 60% = 0.60

De esto se deducen las probabilidades de estar en paro:

• P(Aᶜ|S) = 1 - 0.95 = 0.05
• P(Aᶜ|Sᶜ) = 1 - 0.60 = 0.40

A) Probabilidad de estar en paro P(Aᶜ)

Aplicando el Teorema de la Probabilidad Total para P(Aᶜ):

P(Aᶜ) = P(S) · P(Aᶜ|S) + P(Sᶜ) · P(Aᶜ|Sᶜ)

P(Aᶜ) = (0.3) · (0.05) + (0.7) · (0.4) = 0.015 + 0.28 = 0.295

B) Probabilidad de tener estudios superiores dado que tiene empleo P(S|A)

Aplicando el Teorema de Bayes. Primero calculamos P(A):

P(A) = 1 - P(Aᶜ) = 1 - 0.295 = 0.705

P(S|A) = [P(S) · P(A|S)] / P(A)

P(S|A) = (0.3) · (0.95) / (1 - 0.295) = 0.285 / 0.705 ≈ 0.4043