Ejercicios Resueltos de Probabilidad: Teoremas de Bayes y Probabilidad Total

Problema 1: Eficacia de Terapias Antitabaco

Un centro de salud propone dos terapias para dejar de fumar. Definimos los siguientes sucesos:

• A: Seguir la terapia A.
• B: Seguir la terapia B.
• F: Seguir fumando.
• FC: Dejar de fumar (no volver a fumar).

Datos del problema:

• P(A) = 45% = 0.45
• P(B) = 1 - P(A) = 1 - 0.45 = 0.55
• P(FC|A) = 70% = 0.7 (Probabilidad de dejar de fumar dado que se sigue la terapia A)
• P(FC|B) = 80% = 0.8 (Probabilidad de dejar de fumar dado que se sigue la terapia B)

A) Probabilidad de Dejar de Fumar (Teorema de la Probabilidad Total)

Aplicando el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de que un paciente seleccionado al azar haya dejado de fumar es:

P(FC) = P(A) * P(FC|A) + P(B) * P(FC|B)

P(FC) = (0.45) * (0.7) + (0.55) * (0.8)

P(FC) = 0.315 + 0.44 = 0.755

B) Probabilidad de Haber Seguido la Terapia A si Ha Dejado de Fumar (Teorema de Bayes)

Aplicando el teorema de Bayes, calculamos la probabilidad de que un paciente haya seguido la terapia A, sabiendo que ha dejado de fumar:

P(A|FC) = P(A ∩ FC) / P(FC)

P(A|FC) = [P(A) * P(FC|A)] / P(FC)

P(A|FC) = (0.45 * 0.7) / 0.755

P(A|FC) = 0.315 / 0.755 ≈ 0.41722

C) Probabilidad de Haber Seguido la Terapia A si Sigue Fumando (Teorema de Bayes)

Primero, calculamos la probabilidad de seguir fumando (F), que es el suceso complementario a dejar de fumar (FC):

P(F) = 1 - P(FC) = 1 - 0.755 = 0.245

También necesitamos P(F|A), que es la probabilidad de seguir fumando habiendo seguido la terapia A:

P(F|A) = 1 - P(FC|A) = 1 - 0.7 = 0.3

Aplicando el teorema de Bayes:

P(A|F) = P(A ∩ F) / P(F)

P(A|F) = [P(A) * P(F|A)] / P(F)

P(A|F) = (0.45 * 0.3) / 0.245

P(A|F) = 0.135 / 0.245 ≈ 0.55102

Problema 2: Habilidades Lingüísticas en una Empresa

En una empresa, se analizan las habilidades lingüísticas de sus empleados. Definimos los sucesos:

• A: El empleado habla inglés.
• B: El empleado habla alemán.
• Aᶜ: El empleado no habla inglés.

Datos del problema:

• El 65% de sus empleados habla inglés: P(A) = 65% = 0.65
• De los que hablan inglés, el 40% habla también alemán: P(B|A) = 40% = 0.4
• De los que no hablan inglés, el 25% habla alemán: P(B|Aᶜ) = 25% = 0.25

A) Probabilidad de que un Empleado Hable Ambos Idiomas

Se pide calcular P(A ∩ B). Usando la definición de probabilidad condicional P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A), despejamos:

P(A ∩ B) = P(B|A) * P(A)

P(A ∩ B) = 0.4 * 0.65 = 0.26

B) Probabilidad de que un Empleado Hable Alemán

Se pide calcular P(B). Podemos usar el teorema de la probabilidad total, considerando si hablan inglés (A) o no (Aᶜ):

P(B) = P(A ∩ B) + P(Aᶜ ∩ B)

Necesitamos calcular P(Aᶜ ∩ B). Usando la definición de probabilidad condicional P(B|Aᶜ) = P(Aᶜ ∩ B) / P(Aᶜ):

Primero, P(Aᶜ) = 1 - P(A) = 1 - 0.65 = 0.35

P(Aᶜ ∩ B) = P(B|Aᶜ) * P(Aᶜ)

P(Aᶜ ∩ B) = 0.25 * 0.35 = 0.0875

Ahora, sustituimos en la fórmula de la probabilidad total:

P(B) = P(A ∩ B) + P(Aᶜ ∩ B)

P(B) = 0.26 + 0.0875 = 0.3475

Alternativa (usando la fórmula del texto original):

De P(B|Aᶜ) = P(B ∩ Aᶜ) / P(Aᶜ) = [P(B) - P(B ∩ A)] / (1 - P(A)), tenemos:

P(B) - P(A ∩ B) = P(B|Aᶜ) * (1 - P(A))

P(B) = P(A ∩ B) + P(B|Aᶜ) * (1 - P(A))

P(B) = 0.26 + 0.25 * (1 – 0.65)

P(B) = 0.26 + 0.25 * 0.35 = 0.26 + 0.0875 = 0.3475

C) Probabilidad de que Hable Inglés Sabiendo que Habla Alemán

Se pide calcular P(A|B). Usando la definición de probabilidad condicional:

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)

P(A|B) = 0.26 / 0.3475 ≈ 0.7482

Problema 3: Extracción de Bolas en Urnas

Nota: El enunciado original parece incompleto. Se asume un escenario para dar contexto a los cálculos presentados.

Escenario Asumido: Hay dos urnas, U₁ y U₂. Se elige U₁ con probabilidad 1/3 y U₂ con probabilidad 2/3.

• Urna U₁ (mencionada como Urna A en el original): Contiene 10 bolas verdes (V) y 10 rojas (R). P(V|U₁) = 10/20 = 1/2, P(R|U₁) = 10/20 = 1/2.
• Urna U₂: Contiene bolas Verdes (V) y Rojas (R). Las probabilidades P(R|U₂) = 1/4 y P(V|U₂) = 3/4 se deducen de los cálculos dados.

Se elige una urna al azar según las probabilidades dadas y se extrae una bola.

a) Probabilidad de Extraer una Bola Roja (P(R))

Aplicando el teorema de la probabilidad total (considerando la elección de urna U₁ o U₂):

P(R) = P(U₁) * P(R|U₁) + P(U₂) * P(R|U₂)

P(R) = (1/3) * (1/2) + (2/3) * (1/4)

P(R) = 1/6 + 2/12 = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3

b) Probabilidad de que la Bola Provenga de la Urna U₂ si es Verde (P(U₂|V))

Nota: El original calcula P(B/V), interpretamos B como Urna U₂ y V como bola Verde.

Aplicando el teorema de Bayes: P(U₂|V) = P(U₂ ∩ V) / P(V)

Primero, calculamos P(V) usando la probabilidad total:

P(V) = P(U₁) * P(V|U₁) + P(U₂) * P(V|U₂)

P(V) = (1/3) * (1/2) + (2/3) * (3/4)

P(V) = 1/6 + 6/12 = 1/6 + 1/2 = (1+3)/6 = 4/6 = 2/3

Ahora calculamos P(U₂ ∩ V):

P(U₂ ∩ V) = P(U₂) * P(V|U₂)

P(U₂ ∩ V) = (2/3) * (3/4) = 6/12 = 1/2

Finalmente, aplicamos Bayes:

P(U₂|V) = P(U₂ ∩ V) / P(V)

P(U₂|V) = (1/2) / (2/3)

P(U₂|V) = (1/2) * (3/2) = 3/4

Cálculo como en el original (usando B para U₂):

P(B|V) = [P(B) * P(V|B)] / [P(A) * P(V|A) + P(B) * P(V|B)]

P(B|V) = [(2/3) * (3/4)] / [(1/3) * (1/2) + (2/3) * (3/4)]

P(B|V) = (1/2) / (1/6 + 1/2) = (1/2) / (2/3) = 3/4

Problema 4: Sucesos Aleatorios Independientes

Se tienen dos sucesos aleatorios independientes A y B.

Datos del problema:

• P(A) = 0.3
• P(Bᶜ) = 0.25 (Probabilidad del complementario de B)

De P(Bᶜ) = 0.25, deducimos P(B) = 1 - P(Bᶜ) = 1 - 0.25 = 0.75.

Dado que A y B son independientes, se cumple que: P(A ∩ B) = P(A) * P(B).

A) Probabilidad de la Unión de A y B (P(A U B))

Aplicando la fórmula de la probabilidad de la unión:

P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

Como son independientes, sustituimos P(A ∩ B) = P(A) * P(B):

P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A) * P(B)

P(A U B) = 0.3 + 0.75 - (0.3 * 0.75)

P(A U B) = 0.3 + 0.75 - 0.225

P(A U B) = 1.05 - 0.225 = 0.825

B) Probabilidad de la Intersección de los Complementarios (P(Aᶜ ∩ Bᶜ))

Aplicamos las leyes de Morgan: P(Aᶜ ∩ Bᶜ) = P((A U B)ᶜ).

La probabilidad del complementario de la unión es:

P((A U B)ᶜ) = 1 - P(A U B)

P(Aᶜ ∩ Bᶜ) = 1 - 0.825 = 0.175

C) Probabilidad Condicional P(A|Bᶜ)

Aplicamos la definición de probabilidad condicional:

P(A|Bᶜ) = P(A ∩ Bᶜ) / P(Bᶜ)

Para calcular P(A ∩ Bᶜ), usamos la fórmula: P(A ∩ Bᶜ) = P(A) - P(A ∩ B).

Sabemos que P(A ∩ B) = P(A) * P(B) = 0.3 * 0.75 = 0.225 (por independencia).

P(A ∩ Bᶜ) = 0.3 - 0.225 = 0.075

Ahora calculamos la probabilidad condicional:

P(A|Bᶜ) = 0.075 / P(Bᶜ)

P(A|Bᶜ) = 0.075 / 0.25 = 0.3

Nota: Como A y B son independientes, A también es independiente de Bᶜ. Por lo tanto, P(A|Bᶜ) = P(A) = 0.3. El cálculo confirma este resultado.