Ejercicios Resueltos de Productos Notables y Factorización Algebraica

Revisión y Solución de Conceptos de Álgebra: Productos Notables y Factorización

Verificación de Afirmaciones sobre Suma y Resta de Cubos

Verifique si los siguientes enunciados son verdaderos (V) o falsos (F):

• a) Se calcula la raíz cúbica de cada término (suma o resta de cubos).
• b) El segundo término del trinomio (de uno de los factores que se forman en la factorización) se le debe asignar el mismo signo de la operación original (si es suma, signo positivo; si es diferencia, signo negativo).
• c) Con respecto al trinomio mencionado, el signo del coeficiente numérico del tercer término siempre será positivo.

Respuesta: VFV

Verificación de Afirmaciones sobre Máximo Factor Común (MFC)

• a) Se toman los coeficientes de cada término y se efectúa el procedimiento para obtener el máximo común divisor.
• b) Para el máximo factor común de la parte literal, se escoge la(s) variable(s) común(es) a todos los términos y que poseen el menor exponente.
• c) Después se multiplican solo los valores que contengan la misma parte literal.

Respuesta: VFV

Ejemplos de Multiplicación de Binomios

Caso 1: Cuadrado de un Binomio

En el examen hay una figura de un cuadrado y al lado puede decir $4c - 12$. Se resuelve así:

$(4c - 12)^2 = (4c - 12)(4c - 12) = 16c^2 - 48c - 48c + 144 = 16c^2 - 96c + 144$

Caso 2: Multiplicación de Binomios con Términos Diferentes

Ahora un rectángulo al lado a la derecha dice $(z - 6)$ y abajo dice $(7z + 4)$. Se resuelve así:

$(7z + 4)(z - 6) = 7z^2 - 42z + 4z - 24 = 7z^2 - 38z - 24$

Problemas de Productos Notables

17. Resuelve los siguientes problemas de Productos Notables:

Desarrolla $(wx + y)^2$

$(wx + y)^2 = (wx + y)(wx + y) = (wx)^2 + 2(wx)(y) + y^2 = w^2x^2 + 2wxy + y^2$

Respuesta: B) $w^2x^2 + 2wxy + y^2$

18. Desarrolla $(4pq + n)(4pq - n)$.

Este es un caso de Diferencia de Cuadrados: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.

$(4pq + n)(4pq - n) = (4pq)^2 - n^2 = 16p^2q^2 - n^2$

Respuesta: C) $16p^2q^2 - n^2$

Problemas de Factorización

Resuelve los problemas de factorización que se presentan en la imagen.

20. Área: $(y^2 + 5y - 14)$

Factorizar el trinomio $y^2 + 5y - 14$.

• Buscamos dos números que multipliquen a $-14$ y sumen $5$. Esos números son $7$ y $-2$.

$y^2 + 5y - 14 = (y + 7)(y - 2)$

Respuesta: A) $(y - 2)(y + 7)$

21. Área: $(81 - 4x^2)$

Factorizar la Diferencia de Cuadrados $81 - 4x^2$.

• Reconocemos que $81 = 9^2$ y $4x^2 = (2x)^2$.

$81 - 4x^2 = 9^2 - (2x)^2 = (9 + 2x)(9 - 2x)$

Respuesta: C) $(9 + 2x)(9 - 2x)$

22. Área: $27w^9 - 8x^3$

Factorizar la Diferencia de Cubos $27w^9 - 8x^3$.

• Reconocemos que $27w^9 = (3w^3)^3$ y $8x^3 = (2x)^3$.

La fórmula es $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

$27w^9 - 8x^3 = (3w^3)^3 - (2x)^3 = (3w^3 - 2x)((3w^3)^2 + (3w^3)(2x) + (2x)^2)$

$= (3w^3 - 2x)(9w^6 + 6w^3x + 4x^2)$

Respuesta: B) $(3w^3 - 2x)(9w^6 + 6w^3x + 4x^2)$