Ejes de rotación y tensor de inercia: cuándo L = I·ω en sólidos rígidos

Momento angular, tensor de inercia y ejes principales

Pregunta principal: Para cualquier sólido, ¿es posible encontrar un eje de rotación tal que se verifique L = I · ω? Es decir, ¿puede el momento angular L tener la misma dirección que el eje de giro?

Planteamiento inicial

Consideremos un sólido que gira alrededor de un eje que pasa por su centro de masa (C.M.). El momento angular total viene dado por la suma de los momentos angulares de las partículas que componen el sólido. Si denotamos por r y ω los vectores de posición y velocidad angular respectivamente, entonces:

 L = Σ l_i = Σ (r_i × p_i) = Σ (r_i × m_i v_i)   (donde v_i = ω × r_i)

Desarrollando:

 L = Σ [ r_i × (ω × r_i) ] = Σ [ r_i^2 ω - (r_i · ω) r_i ]

Por tanto:

 L = Σ m_i [ r_i^2 ω - (r_i · ω) r_i ]

Si descomponemos en componentes cartesinas, L = L_x i + L_y j + L_z k y ω = ω_x i + ω_y j + ω_z k, con r_i = x_i i + y_i j + z_i k, podemos obtener las componentes explícitas:

 L_x = Σ m_i [ r_i^2 ω_x - (r_i · ω) x_i ]
      = Σ m_i [ r_i^2 ω_x - x_i^2 ω_x - x_i y_i ω_y - x_i z_i ω_z ]

De forma análoga se obtienen L_y y L_z.

Momentos y productos de inercia

Definimos los momentos y productos de inercia (respecto al C.M.) como:

• Momento de inercia: I_xx = Σ m_i (r_i^2 − x_i^2)
• Producto de inercia: I_xy = Σ m_i x_i y_i
• Producto de inercia: I_xz = Σ m_i x_i z_i

Con estas definiciones, la componente L_x se puede escribir como:

 L_x = I_xx ω_x + I_xy ω_y + I_xz ω_z

y de forma análoga para L_y y L_z.

Forma matricial: el tensor (o matriz) de inercia

En notación matricial:

 L = [L_x, L_y, L_z]^T
   = [ [I_xx, I_xy, I_xz],
       [I_yx, I_yy, I_yz],
       [I_zx, I_zy, I_zz] ] · [ω_x, ω_y, ω_z]^T
   = I · ω

Obsérvese que I_xy = I_yx, etc., por lo que el tensor de inercia I es una matriz simétrica (los elementos fuera de la diagonal son los productos de inercia).

Ejes principales y diagonalización

Puede demostrarse que, para cualquier sólido por muy irregular que sea, existen tres direcciones ortogonales (vectores unitarios) que se llaman direcciones principales. Si elegimos un sistema de referencia cuyas ejes coincidan con estas direcciones principales y ubicamos el origen en el centro de masa, el tensor de inercia se diagonaliza: los productos de inercia se anulan y permanecen únicamente los momentos principales de inercia.

 (L_x, L_y, L_z)^T = [ [I_xx, 0, 0], [0, I_yy, 0], [0, 0, I_zz] ] · (ω_x, ω_y, ω_z)^T
  = (I_xx ω_x, I_yy ω_y, I_zz ω_z)^T

Sin embargo, aun en esta base principal (diagonal), no se ha conseguido en general que L = I ω en el sentido de que L sea paralelo a ω, porque las componentes de L son I_xx ω_x, I_yy ω_y, I_zz ω_z, y esos coeficientes pueden ser distintos.

Condición para que L y ω sean colineales

Deseamos que L tenga la misma dirección que el eje de giro ω. Es decir, queremos L = I_e ω con I_e una constante escalar (momento de inercia efectivo) y L paralelo a ω. En la base de ejes principales, si la velocidad angular está alineada con uno de los ejes principales, por ejemplo con e_3, entonces:

 ω = 0·e_1 + 0·e_2 + ω_z·e_3
   => ω_x = ω_y = 0, ω_z ≠ 0

 L = I_xx ω_x e_1 + I_yy ω_y e_2 + I_zz ω_z e_3
   = I_zz ω_z e_3

Por tanto, cuando el eje de giro coincide con un eje principal (por ejemplo e_3), se cumple que L = I_zz · ω y, en particular, L es paralelo a ω. En otras palabras, basta con que el eje de giro sea un eje principal para que el momento angular tenga la misma dirección que el vector de velocidad angular.

Observación sobre simetría

Si un sólido tiene un eje de simetría, ese eje es siempre un eje principal. Por ello, rotar alrededor de un eje simétrico garantiza que L y ω sean colineales.

Ejemplo (esquemático)

(Dibujo) Para que L = I ω basta con que el eje de giro sea un eje principal; si es e_3:

 ω = 0·e_1 + 0·e_2 + ω_z·e_3 = ω_z·e_3
 => ω_x = ω_y = 0

 L = ω_z·I_zz·e_3 = I_zz·ω

(dibujo) Por tanto, en este caso concreto L y ω son paralelos y la relación L = I·ω se reduce a un escalar multiplicando al vector ω.

Conclusión

• El momento angular total de un sólido se expresa mediante el producto del tensor de inercia por el vector velocidad angular: L = I · ω (matricialmente).
• En la base formada por los ejes principales, el tensor de inercia es diagonal y las componentes de L son I_xx ω_x, I_yy ω_y, I_zz ω_z.
• Para que L sea paralelo a ω (es decir, para que exista una constante escalar I tal que L = I ω), basta que el eje de rotación coincida con uno de los ejes principales del sólido. En particular, los ejes de simetría son ejes principales y cumplen esta condición.

Nota: Se ha respetado el razonamiento y las expresiones originales, corregidas en ortografía, gramática y notación, y organizadas en secciones para mayor claridad.