Elasticidad lineal: tensiones, deformaciones y tensores principales en sólidos

Introducción a la elasticidad

La teoría de la elasticidad describe el comportamiento de los sólidos deformables desde un punto de vista macroscópico. Permite determinar los desplazamientos, las deformaciones y las tensiones producidas por unas geometrías y fuerzas dadas, y saber si el sólido se rompe o se aleja de su comportamiento ideal.

Hipótesis de partida

• Homogeneidad: las propiedades del material son iguales en todos sus puntos.
• Isotropía: las propiedades no dependen de la dirección.
• Ausencia de efectos dinámicos.
• Comportamiento elástico.
• Comportamiento lineal.
• Pequeños desplazamientos.

Tensión

El vector tensión es la fuerza por unidad de superficie que ejercen sobre un punto los fragmentos colindantes del medio, situados en dirección perpendicular a la superficie considerada.

En un punto de una superficie S, la distribución de fuerzas se expresa como:

ΔF = Tⁿ · ΔS

Por tanto: T = lim_Δ→0 ΔF/ΔS

Ecuaciones de equilibrio

Para un sólido de espesor despreciable se cumple:

∑F = 0 → Tⁿ · ΔS + Tⁿ' · ΔS' = 0

Las ecuaciones de equilibrio en forma diferencial son:

σ_ji,j + X_i = 0

Tensiones y direcciones principales

Las tensiones principales son las raíces de la ecuación característica:

σ³ − I₁σ² + I₂σ − I₃ = 0

Sus coeficientes son los invariantes del tensor de tensiones, es decir, magnitudes que no dependen del sistema de referencia elegido.

Casos particulares

• Tensiones principales distintas: las direcciones principales son perpendiculares entre sí. Si σ ≠ σ', los planos principales tienen normales distintas y no coinciden.
• Raíz múltiple: existe una familia de direcciones principales dentro de un plano.
• Raíz triple: cualquier plano que pase por el punto es una dirección principal, y el tensor es esférico: σ_ij = c·δ_ij, siendo c una constante.

Deformación

La deformación es la relación entre la posición que ocupa un punto material del sólido en un estado de referencia y la posición que ocupa en el estado final. Un punto se desplaza si las coordenadas relativas entre ambos estados son distintas.

Desplazamiento relativo

Considerando dos puntos próximos A y B separados por dx, tras la deformación el desplazamiento relativo satisface:

du_i = u_i,j dx_j = ε_ij dx_j + ω_ij dx_j

donde:

• ε_ij = ½(u_i,j + u_j,i): tensor de deformaciones (parte simétrica).
• ω_ij = ½(u_i,j − u_j,i): tensor de rotación (parte antisimétrica).

Deformación normal

La deformación normal en una dirección n se obtiene como:

ε = ε_ij n_i n_j

Por ejemplo, para la dirección (1,0,0) se tiene ε = ε₁₁.

Deformación angular

Si se consideran dos segmentos inicialmente perpendiculares, OA (dx₁) y OB (dx₂), la variación del ángulo recto es:

γ = θ₁ + θ₂ ≈ u_2,1 + u_1,2

Por tanto, γ = 2·ε₁₂, es decir, la deformación angular es el doble de la componente tensorial, o equivalentemente, la mitad de la variación del ángulo recto inicial.

Rotación

El tensor antisimétrico ω_ij representa un giro de cuerpo rígido. Sus componentes miden el producto de rotación, que cambia de signo en torno a cada uno de los ejes coordenados.

Interpretación física del tensor de deformaciones

Las componentes intrínsecas de ε_i tienen un resultado de interés: el ángulo que gira el segmento AB a partir del movimiento de sólido rígido que lleva A a su posición final es, en aproximación de pequeños desplazamientos:

θ ≈ tg θ = ε_ij dx_j cos β / dx_j = ε_i cos β = γ/2 (adimensional)

Este resultado muestra que el giro promedio asociado a la deformación angular es precisamente la mitad de la distorsión angular total.