Electromagnetismo y Ondas Estacionarias

1 Alternador

Disponemos de un campo magnético uniforme en el espacio de intensidad B. En él introducimos una espira conductora definida por el vector superficie S. Hacemos girar la superficie por su eje de simetría a una velocidad angular constante de valor ω rad/segundos, dentro del campo magnético. Buscamos la expresión del flujo magnético que atraviesa la superficie. Se explica con el siguiente producto escalar. φ= N. B. S = N.B. S. cos (α)

siendo N el número de espiras del solenoide, B el vector de intensidad de campo magnético, S el vector que define a la superficie (de módulo el valor de la superficie, y dirección perpendicular a ella) y α el ángulo formado entre los dos vectores. Cuando la espira gira dentro del campo magnético, el flujo producido pasa por valores máximos y mínimos, variando con el tiempo. No varía B, no varía S, varía la posición relativa entre ambos. ω=α/t→α=ω·t→φ(t)= N. B. S. cos (ωt)

Con la expresión de Faraday - Lenz para la fuerza electromotriz inducida; ε=-N.dφ/dt= -N.B.S . d(cos( ωt))/dt = N.B.S. ω. sen( ωt)

Se genera una fem inducida variable en el tiempo con forma senoidal que pasa por sus valores máximos y mínimos (± N. B. S. ω), también llamados tensión efectiva. Esta es la corriente alterna, que llega a nuestros hogares, después de los procesos de transformación adecuados, con una tensión efectiva de 220V. Cambia de sentido con una frecuencia de 50 Hz en Europa y de 60Hz en América

2 Ley Faraday

Faraday realizó dos experimentos

1a Experiencia de Faraday:

Conectó una bobina conductora a un galvanómetro, e introdujo el polo norte de un imán en la bobina. Observó que al introducir el imán el galvanómetro detectaba paso de corriente en un sentido y al extraerlo, en el sentido contrario. Si el imán estaba quieto, no había paso de corriente eléctrica. Cuanto más rápido se movía el imán, más potente era el campo del imán y más espiras tenía la bobina, más intensidad de corriente se generaba. Introduciendo el imán por su cara sur, sucedía lo mismo pero en sentido contrario.

2a Experiencia de Faraday:

Conectó el circuito de la figura, en el que las dos bobinas están rodeando la misma barra de hierro dulce. Al conectar o desconectar el interruptor junto a la batería, se detectaba el paso momentáneo de corriente en el galvanómetro del circuito adyacente. En un sentido al conectar, y en el contrario al desconectar. No se detectaba paso de corriente después de alcanzar en la batería el funcionamiento de régimen.

Definición de flujo magnético:

Es una medida de la cantidad de magnetismo (líneas de campo magnético) que atraviesa una determinada superficie. Se explica con el siguiente producto escalar. φ= N. B. S = N.B. S. cos( α)

siendo N el número de espiras del solenoide, B el vector de intensidad de campo magnético, S el vector que define a la superficie (de módulo el valor de la superficie, y dirección perpendicular a ella) y α el ángulo formado entre los dos vectores.

Las unidades del flujo en el S.I. son el Weber, equivalente a Teslas. m2

Conclusión de Faraday a sus experimentos:

Siempre que en los experimentos se ha producido intensidad de corriente ha sido porque existía un flujo magnético a través de las espiras que variaba en el tiempo. No es suficiente que exista flujo, es necesario que sea variable en el tiempo. Un flujo constante no produce fuerza electromotriz inducida, por ejemplo, en el primer experimento con el imán quieto. Por ello, postuló: ε= N . dφ/dt

ε es la fuerza electromotriz inducida en el circuito, medida en voltios. La expresión definitiva de la fuerza electromotriz inducida fue propuesta por Lenz, quien añadió un signo negativo, con el que quiso expresar que la fuerza electromotriz inducida en el circuito genera a su vez un flujo magnético que se opone a la causa que lo produjo. ε= N . dφ/dt

3 Ley de Biot-Savart

Hans Christian Oersted, predijo la existencia de los fenómenos electromagnéticos: observó que una aguja imantada colocada en dirección paralela a un conductor eléctrico se desviaba cuando se hacía circular una corriente eléctrica por el conductor, demostrando así la existencia de un campo magnético en torno a todo conductor atravesado por una corriente eléctrica, e iniciándose de ese modo el estudio del electromagnetismo.

Aplicación al caso de un conductor recto indefinido:

Si disponemos de una corriente en línea recta, el valor del campo magnético creado por una corriente rectilínea en un punto P, según Biot y Savart, se obtiene por medio de la siguiente expresión: B = μ0 I / 2πR B es el valor del campo magnético en el punto P. Su unidad en el S.I. es el Tesla (T). μ0 es la permeabilidad magnética del vacío. I es la intensidad de corriente que circula por el conductor. Unidad Amperio (A). R es la distancia entre P y el conductor.

Para obtener el sentido del campo magnético giramos con el sacacorchos que avanza con la corriente de intensidad I. B tendrá el módulo indicado y será tangente al círculo de radio R alrededor del conductor que pasa por P. Estos círculos concéntricos son las líneas de campo.

Aplicación al caso de un conductor circular de radio R:

Si disponemos de una corriente en una espira circular, el módulo del campo magnético creado en su centro, según Biot y Savart, se obtiene por medio de la siguiente expresión: B = μ0 I / 2πR B es el valor del módulo del campo magnético en el punto P. Su unidad en el S.I. es el Tesla (T). μ0 es la permeabilidad magnética del vacío. I es la intensidad de corriente que circula por la espira. Unidad Amperio (A). R es el radio de la espira. B es un vector perpendicular a la superficie de la espira. Para obtener el sentido del campo magnético giramos con el sacacorchos que avanza con la corriente de intensidad I.

Se comporta como un imán con su cara norte y su cara sur.

4 Ley Lorenz

Suponemos que introducimos una carga con velocidad v dentro de un campo magnético de intensidad B. Se dan las siguientes situaciones:

1. Si la velocidad de la carga es paralela al campo magnético la carga no se ve afectada.

2. Si la velocidad de la carga es perpendicular al campo magnético la carga describe un círculo en un sentido, y en el contrario si cambiamos el signo de la carga.

3. Si la carga entra formando un ángulo distinto a 0 o a 90 grados, describe hélices, es decir, describe círculos y avanza simultáneamente.

Analizamos el 2o caso: Si la carga describe círculos es porque aparece una fuerza de naturaleza centrípeta perpendicular a su trayectoria que podremos describir con el siguiente producto vectorial. Es la llamada Fuerza de Lorentz: Fm = q. (v × B)→Fm = q. v. B. sen(90o) = m. v.v/r

Podemos despejar el radio de giro de la partícula: r = m.v/q.B

Lógico, que a mayor masa y mayor velocidad tendrá más inercia y le resultará más costoso cambiar de trayectoria, describiendo un radio mayor. Además, a mayor carga y con un campo magnético más intenso, sufrirá una fuerza mayor, luego su radio de giro será menor.

Fuerza sobre conductor rectilíneo en campo magnético:

Si disponemos de un conductor rectilíneo de longitud L atravesado por una corriente de intensidad I, dentro de un campo magnético B está afectado por una fuerza magnética definida por el siguiente producto vectorial: Fm = I. (L . B) siendo el vector L un vector de módulo la longitud del conductor, dirección la del conductor y sentido el de la corriente. El módulo de Fm será: | Fm| = I. (L × B) = I. L. B. sen(90) = I. L. B

Dirección perpendicular al plano formado por L y B, y sentido el del sacacorchos que avanza con el giro de L hacia B por el ángulo más corto.

5 ONDAS

Una onda estacionaria se forma por la interferencia de dos ondas de la misma naturaleza con igual amplitud y frecuencia, que avanzan en sentido opuesto a través de un medio. Cuando las dos ondas se encuentran se produce el fenómeno de la interferencia de ondas, es decir podemos sumar las ondas.

y1 = A sen (wt - kx)

y2 = A sen (wt + kx)

y1 + y2 = A sen (wt - kx) + A sen (wt + kx)

como sen A + sen B = 2 sen A+B/2 cos A-B/2

yT = y1 + y2 = 2A sen (wt - kx) +( wt + kx)/2 cos (wt - kx) -( wt + kx)/2→yT = y1 + y2 = 2A sen (2wt)/2 cos -2kx/2

= 2A sen(wt) cos (kx) ya que cos (-kx) = cos (kx)

Observamos que la expresión resultante de la suma de las dos ondas originales tiene una función armónica que depende del tiempo, sen(wt), y una parte que no depende del tiempo, 2A cos (kx). Por lo tanto podemos afirmar que es una onda: yT = Aonda . sen(wt). siendo Aonda = 2A cos (kx)

A este tipo de ondas les llamamos ondas estacionarias: su frecuencia es la misma que la de las ondas originales, y su longitud de onda también. Su amplitud máxima es el doble de la amplitud de las ondas originales. Tienen puntos que no vibran, llamados nodos, que a lo largo del tiempo permanecen inmóviles, estacionarios, mientras que otros, llamados vientres, lo hacen con una amplitud de vibración máxima, igual al doble de la amplitud máxima de las ondas que interfieren. Se puede considerar que las ondas estacionarias no son propiamente ondas de propagación, sino los distintos modos de vibración de la cuerda, el tubo con aire, etc. Ello es porque al existir puntos que no vibran no se produce transmisión de energía.

Buscamos la posición de los nodos :

Como no vibran nunca, la parte que no depende del tiempo tiene que ser nula → →2A cos (kx)=0 →cos (kx)=0 →(kx) = n π/2 con n = 1,3,5... →(2π/λ.x)=n π/2 con n = 1,3,5.. → x = nπ/2 . λ/2π con n = 1,3,5.. → x = n λ/4 con n = 1,3,5.. →si n =1 → x = λ/4 si n =3 →3 λ/4 si n =5 → x = 5 λ/4...

Se puede ver que la distancia que separa dos nodos consecutivos es media longitud de onda.

Buscamos la posición de los vientres :

La parte que no depende del tiempo tiene que ser máxima→ cos (kx)= +-1→ (kx) = n π con n = 0,1,2,3... →(2π/λ.x)=n π con n = 1,2,3 → x = nλ/2 con n = 1,2,3.. → si n =0 → x = 0 si n =1 →x=λ/2 si n =3 →x= 2λ/2 si n =5 →x=3λ/2 ....

Se puede ver que la distancia que separa dos vientres consecutivos es media longitud de onda.

Ejemplo: Cuerda sujeta por los dos extremos. Sólo hay ciertas frecuencias a las que se producen ondas estacionarias que se llaman frecuencias de resonancia. La más baja se denomina frecuencia fundamental, y las demás son múltiplos enteros de ella (doble, triple, ...).