Energía Cinética de Rotación de un Sólido Rígido: Teorema de la Energía y Movimiento de Rodadura

Energía Cinética de Rotación del Sólido Rígido Alrededor de un Eje: Teorema de la Energía

Consideremos un sólido rígido que gira alrededor de un eje fijo con una velocidad angular paralela a ese eje. La velocidad (v) del elemento de masa (dm) situado a una distancia (r) del eje de giro es v = ωr. La energía cinética de esta masa es dEc = ½ v² dm = ½ ω²r² dm. La energía cinética del sólido se obtendrá integrando los elementos de masa que lo componen. Teniendo en cuenta el momento de inercia (I) respecto al eje de giro, escribimos Ec = ½ Iω², que es la ecuación de la energía cinética de un sólido rígido alrededor de un eje.

El teorema de la energía muestra que el trabajo de las fuerzas internas es nulo si la distancia entre dos partículas es constante, luego Wext = ΔEc y, derivando respecto al tiempo (t), se obtiene Iωα = Mω, obteniendo P = Mω. Si alguna fuerza externa es conservativa, el trabajo que realiza puede calcularse como el cambio de energía potencial Ep = Mgh (del centro de masas) y, de esta forma, sabemos que su momento de fuerza respecto de cualquier punto es igual al que resulta de aplicarse todo él en el centro de masas M = R (del CM) x mg y, del mismo modo, operamos con las fuerzas inerciales.

Movimiento de un Punto Material

• Momento lineal: p = mv
• Energía cinética: Ec = ½ mv²
• Trabajo: dW = F dx
• Segunda ley de Newton: F = ma

Movimiento de un Sólido Rígido con un Eje Fijo de Simetría

• Momento angular respecto al eje: L = Iω
• Energía cinética de rotación: Ec = ½ Iω²
• Trabajo: dW = M dθ
• Ecuación fundamental de rotación: M = Iα

Movimiento de Rodadura

El movimiento de rodadura es un movimiento plano en el que el movimiento de todas las partículas del sólido son paralelas a un plano perpendicular a la superficie de apoyo y el eje de rotación es paralelo a la superficie sobre la que ocurre la rodadura. Este tiene dos grados de libertad: uno asociado a la rotación y uno asociado a la traslación rectilínea. La fuerza se calcula como F = Ma, pero el análisis rotacional se hará con M = I(CM)α. Si un objeto rueda hacia abajo, actúan sobre él el peso, la fuerza normal y el rozamiento. Se distinguen dos ecuaciones: cuando rueda sin deslizar y cuando desliza.

Si rueda sin deslizar, la distancia lineal recorrida por el centro de masas está relacionada con el ángulo de rotación (θ) por s = rθ, siendo r el radio. La aceleración (a) y la velocidad (v) del centro de masas son v = rω y a = rα. Para que un cuerpo ruede sin deslizar, la velocidad instantánea del punto que está en contacto con el suelo debe ser nula. En este caso, al tratarse de rozamiento estático, no hay disipación de energía mecánica total, por tanto, se conserva.

Si el plano es demasiado inclinado o su constante de rozamiento estática es muy pequeña, el objeto deslizará. Entonces, las dos últimas ecuaciones no se cumplirán y se transformarán en Mg sen θ - μ(dinámica)N = Ma y μ(dinámica)Nr = I(CM)α.