Energía potencial gravitatoria y fuerzas conservativas: fuerza central y conservación de la energía

Energía potencial gravitatoria y fuerza central

EPG: La fuerza de atracción gravitatoria es una fuerza central; es decir, su dirección coincide con la del vector de posición (tomando como origen el centro de masas). Todas las fuerzas centrales son conservativas y, en consecuencia, el trabajo que realizan sobre un cuerpo depende únicamente de la posición inicial y final del mismo (no de la trayectoria seguida). Por ello puede asignarse a cada posición una función que se llama energía potencial (Ep). (dibujo)

Suponiendo que, como consecuencia de la atracción gravitatoria, la fuerza es

F = -G M m / r² · u_r

si la masa se desplaza desde la posición a hasta la posición b, aplicando el teorema de la energía potencial:

W_ab = -ΔEp = Ep(a) - Ep(b)

La expresión para la energía potencial de una masa m sometida a la fuerza de atracción gravitatoria de otra masa M, estando separadas ambas masas a una distancia r, es:

Ep(r) = -G M m / r

La energía potencial gravitatoria toma valores negativos cuando los cuerpos están a una distancia finita; su valor es nulo cuando los cuerpos se alejan hasta una distancia infinita: Ep(∞) = 0. Por tanto, la energía potencial aumenta al alejarse y disminuye al acercarse. La energía potencial gravitatoria en una posición determinada es igual al trabajo que realizaría la fuerza de atracción para separar los cuerpos hasta una distancia infinita.

Campos, fuerzas conservativas y propiedades

Según el concepto físico de campo, cada partícula crea una propiedad llamada campo en los puntos que la rodean. Los campos pueden ser escalares (sin dirección ni sentido) o vectoriales, que se pueden representar mediante líneas de campo.

Características de una fuerza conservativa:

• El trabajo entre dos posiciones depende solo de la posición inicial y la final.
• El trabajo en un camino cerrado es nulo. (dibujo: círculo y vectores de fuerza hacia la derecha)

Ejemplos de fuerzas conservativas: fuerzas centrales, como el campo gravitatorio terrestre.

Potencial gravitatorio

El potencial gravitatorio es la energía potencial por unidad de masa situada en un punto a una distancia r de la masa generadora. Se define como:

V(r) = -G M / r

Principios y teoremas relacionados

Principio de conservación de la energía mecánica

Cuando sobre un cuerpo solo actúan fuerzas conservativas, al desplazarse entre dos posiciones su energía mecánica no cambia.

Teorema de la energía cinética (teorema trabajo-energía)

El trabajo W realizado por la resultante de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo es igual a la variación de su energía cinética (ΔEc):

W = ΔE_c

Teorema de la energía potencial

El trabajo realizado por una fuerza conservativa sobre un cuerpo es igual a la variación de la energía potencial cambiada de signo:

W_conserv = -ΔE_p

Por lo tanto, si únicamente actúan fuerzas conservativas, la suma de la energía cinética y la energía potencial (energía mecánica) permanece constante:

E_mec = E_c + E_p = constante

Resumen

• La fuerza gravitatoria es una fuerza central y conservativa.
• La energía potencial gravitatoria de dos masas es Ep = -G M m / r y tiende a cero cuando r → ∞.
• El potencial por unidad de masa es V = -G M / r.
• El trabajo de fuerzas conservativas depende solo de los puntos inicial y final; en un ciclo cerrado es cero.
• El trabajo total sobre una partícula provoca la variación de su energía cinética; si solo actúan fuerzas conservativas, la energía mecánica se conserva.

(dibujo)