Entendiendo la Multicolinealidad en Modelos de Regresión Lineal

Concepto de Multicolinealidad

El problema de multicolinealidad consiste en la existencia de relaciones lineales entre dos o más variables independientes del modelo lineal uniecuacional múltiple. Dependiendo de cómo sea dicha relación lineal, hablaremos de multicolinealidad perfecta o aproximada.

Causas Principales de la Multicolinealidad

Las principales causas que producen multicolinealidad en un modelo son:

1. Relación causal entre las variables explicativas del modelo.
2. Escasa variabilidad en las observaciones de las variables independientes.
3. Reducido tamaño de la muestra.

Tipos de Multicolinealidad

Multicolinealidad Exacta o Perfecta

Hace referencia a la existencia de una relación lineal exacta entre dos o más variables independientes. Dicho tipo de multicolinealidad se traduce en el incumplimiento de una de las hipótesis básicas del modelo uniecuacional múltiple:

• La matriz $\mathbf{X}$ no es de rango completo por columnas, es decir, $\text{rg}(\mathbf{X}) < k$.
• Por tanto, la matriz $\mathbf{X'X}$ no tiene inversa.
• El sistema $\mathbf{X'X}\boldsymbol{\beta}=\mathbf{X'Y}$ es incompatible indeterminado, es decir, $\boldsymbol{\beta}$ tendría infinitas soluciones. Con lo cual, no se podrán estimar los coeficientes independientes; solo se podrá estimar una combinación lineal de los mismos.

Multicolinealidad Aproximada

Cuando existe un problema de multicolinealidad aproximada, la matriz $\mathbf{X'X}$ sí tiene inversa, en cambio, su determinante es muy próximo a 0. Esto provoca que la inversa tienda a tener valores muy altos. En consecuencia, se presentan los siguientes problemas:

1. Las varianzas de los estimadores son muy grandes.
2. Al efectuar los contrastes de significación individual, no se rechazará la hipótesis nula, mientras que al realizar contrastes conjuntos sí.
3. Los coeficientes estimados serán muy sensibles ante pequeños cambios en los datos.
4. Un coeficiente de determinación elevado.

Soluciones al Problema de Multicolinealidad

Las posibles soluciones al problema de la multicolinealidad incluyen:

1. Mejorar el diseño muestral extrayendo la información máxima de las variables observadas.
2. Eliminación de las variables que se sospechan que son causantes de multicolinealidad.
3. Aumentar el tamaño de las muestras.
4. Utilizar la relación extramuestral que permita realizar restricciones entre los parámetros, lo que posibilita estimar el modelo por mínimos cuadrados restringidos.