Equilibrio y optimización en sistemas de muelles y posición óptima en una portería

Muelles: Grafo del problema y modelado

A: grafo del problema

A.1: Sistema mecánico para el problema

• 1º: Estado natural sin fuerza aplicada.
• 2º: Estado final con fuerza aplicada.

A.2: Conceptos de ingeniería y modelado matemático del problema

A.2.1: Energía elástica interna (tensión interna del muelle i-ésimo):

Ei = 1/2 · Ki · (MM')² ⇒ Ei = 1/2 · Ki · Xi².

A.2.2: Trabajo de la fuerza externa:

W = F · Xi.

A.2.3: Modelado: superficie de la energía potencial del sistema mecánico (muelles y fuerza):

E_poten = acción externa – reacción interna o equivalentemente E_poten = - (reacción interna – acción externa). En el equilibrio: E_poten debe ser mínima.

Diagrama (descripción): Eje vertical: u → energía potencial del sistema mecánico; eje izquierdo: [Pilar A], desplazamiento X1; eje derecho: [Pilar B], desplazamiento X2.

Resolución matemática del sistema de muelles

B.1: Construcción de la función a optimizar u

1. Energía (trabajo) acción externa: W = F · Xi.

2. Energía elástica interna de tensión de todos los muelles:

• Muelle CG: K₁ = 3 · k ⇒ E₁ = 1/2 · 3k · X₂²
• Muelle DH: K₂ = k ⇒ E₂ = 1/2 · k · X₁²
• Muelle IJ: K₃ = 2 · k ⇒ E₃ = 1/2 · 2k · (X₂ - X₁)²

La energía interna total es la suma de todas:

E_e,total = Σ E_i = 1/2 · 3k · X₂² + 1/2 · k · X₁² + 1/2 · 2k · (X₂ - X₁)².

Luego, la función a optimizar se plantea como:

u(x₁, x₂) = [reacción interna] – F · X₂ (trabajo de la fuerza externa).

B.2: Búsqueda y análisis del punto crítico

Se procede a obtener las condiciones de equilibrio minimizando la energía potencial (o, equivalentemente, imponiendo igualdad entre fuerzas internas y externas). Para la resolución matricial del sistema (si procede), pueden emplearse métodos como el de Cramer u otros procedimientos de resolución de sistemas lineales según corresponda.

Los postes de una portería: formulación y resolución

A: grafo del problema

α es el ángulo que queremos que sea máximo. P es la posición del jugador. AB = a. AC = b. PA = x (distancia pedida).

B: solución matemática

B.1: Valores de los ángulos en función de los datos

tg β = a / x ; tg λ = b / x … y se cumple λ = α + β. Por tanto:

α = λ - β.

Tomando tangentes:

tg α = tg(λ - β) = (tg λ - tg β) / (1 + tg λ · tg β).

B.2: Definición de la función a optimizar

Sustituyendo los valores tg β = a/x y tg λ = b/x:

tg α = ((b / x) - (a / x)) / (1 + (b / x) · (a / x)) = (b - a) / x / (1 + ab / x²).

Simplificando la expresión:

tg α = x · (b - a) / (x² + ab).

B.3: Cálculo de la distancia óptima x

B.3.1: Cálculo de la derivada

Sea y(x) = tg α = (b - a) · x / (x² + ab). Denotando C = b - a (constante), la derivada es:

y'(x) = C · [ (x² + ab) - 2x² ] / (x² + ab)² = C · (ab - x²) / (x² + ab)².

B.3.2: Igualar a cero la derivada

Para puntos críticos se impone y'(x) = 0, lo que da:

• C = b - a = 0 ⇒ a = b (caso degenerado: la portería no tiene apertura, mínimo).
• ab - x² = 0 ⇒ x = √(ab) (solución óptima, siempre que el denominador sea distinto de 0).

Por tanto, la distancia óptima solicitada es x = √(ab), salvo la degeneración cuando a = b.

Observación: en todas las expresiones se ha supuesto x ≠ 0 y x² + ab ≠ 0 para evitar indeterminaciones.

Notas finales: Se han corregido errores ortográficos y de notación, ajustado mayúsculas y minúsculas, y presentado las fórmulas y pasos de resolución de forma explícita para facilitar el seguimiento del modelado y la optimización tanto en el sistema de muelles como en el problema geométrico de la portería.