Estabilidad de Sistemas de Control: Criterio de Routh-Hurwitz

Estabilidad de un Sistema de Control

Cualquier función de transferencia de un sistema de control se puede expresar mediante una función de polinomios de la variable s, como:

El denominador de la función de transferencia se denomina Ecuación Característica.

Se define como polo de una función de transferencia aquel valor de la variable s que hace que el denominador de la función sea cero, es decir, que hace que P(s) = 0.

Recuerda que la variable s es una variable compleja, es decir, que tiene una parte real y una parte imaginaria:

Por tanto, los polos de una función de transferencia serán determinados números complejos que hacen que el denominador P(s) sea cero.

Ejemplo

La función de transferencia representada por la fracción:

M(s)= ---------------------------

Tiene como denominador:

Las raíces de P(s) hacen que se cumpla la igualdad:

Y estas raíces son los polos de la función de transferencia M(s):

La situación gráfica de los polos de una función de transferencia nos indica la estabilidad del sistema de control correspondiente a dicha función.

Un sistema de control es estable cuando, aplicada a su entrada una señal a), a la salida aparece una señal decreciente en el tiempo que se hace cero cuando el tiempo tiende al infinito b).

La condición para que un sistema sea estable es que sus polos se encuentren en la parte izquierda del plano complejo (Raíces con parte real negativa).

Los polos situados en el origen o sobre el eje imaginario dan lugar a respuestas continuas o constantes que se consideran inestables.

Los polos en la parte derecha del plano complejo dan respuestas que crecen con el tiempo y, por tanto, son inestables (Raíces con parte real positiva).

Criterio de Estabilidad de Routh-Hurwitz

Para saber si un sistema es estable, hay que conocer si las raíces del polinomio P(s) denominador tienen parte real negativa. No es necesario obtener las raíces del polinomio, basta con conocer el signo de la parte real. El criterio de Routh es un método sencillo que permite determinar el número de raíces con parte real positiva sin obtenerlas realmente. Aquellas raíces con parte real positiva implicarán un sistema inestable.

Dado el polinomio: P(s)= a_nsⁿ + a_n-1s ^n-1 + … + a₁s + a₀

La condición necesaria para que todas las raíces del polinomio tengan parte real negativa es:

1. Que el polinomio esté completo en s, por tanto, todas las potencias desde sⁿ hasta s⁰, deben figurar en la ecuación.
2. Si algún coeficiente distinto de a₀ es cero, o si hay algún coeficiente negativo, hay raíces reales positivas o raíces imaginarias con parte real positiva y el sistema es inestable.

Se determina el número de raíces con parte real positiva que puede tener el polinomio P(s) disponiendo sus coeficientes según la siguiente distribución:

donde las dos primeras filas corresponden a los coeficientes del polinomio P(s).

Las constantes b₁, b₂, b₃,… de la tercera fila se obtienen con las expresiones.

Se continúa el cálculo hasta que no se obtenga ninguna constante b distinta de cero.

Las constantes c se calculan empleando las filas correspondientes a s^n-1 y s^n-2 en las siguientes expresiones:

así hasta que no haya más constantes c

El resto de las filas se forman de la misma manera hasta la fila correspondiente a s⁰. Una vez formada la distribución, el criterio de Routh dice:

El número de raíces del polinomio P(s) que tienen parte real positiva es igual al número de cambios de signo de los coeficientes de la primera columna.

Por tanto, el sistema será estable si todos los términos de la primera columna tienen el mismo signo.

Ejemplo

Dado el polinomio P(s)=6s⁵ + 2s⁴ + 5s³ + s² + 3s + 5, determina la estabilidad del sistema que representa.

La condición necesaria para que todas las raíces del polinomio tengan parte real negativa se cumple, pues el polinomio está completo y no hay ningún coeficiente negativo.

En la primera columna hay dos cambios de signo: de +13 a -166/13 y de -166/13 a +5; por tanto, P(s) tiene dos raíces en el semiplano positivo y el sistema será inestable.