Estadística y Álgebra: Cálculo de Intervalos de Confianza y Resolución de Sistemas de Ecuaciones

Estadística Inferencial: Estimación del Tiempo Medio de Entrega

Este documento aborda dos problemas matemáticos distintos: el primero, un ejercicio de estadística inferencial centrado en la construcción de intervalos de confianza para estimar el tiempo medio de entrega de pedidos; el segundo, un problema de álgebra que implica la formulación y resolución de un sistema de ecuaciones lineales con un parámetro.

Problema 1: Estimación del Tiempo de Entrega de Pedidos

Un local de comida a domicilio busca estimar el tiempo medio que sus repartidores tardan en entregar un pedido desde que lo recogen. Para ello, se ha tomado una muestra de 200 pedidos, obteniendo un tiempo medio de 17.5 minutos. Se asume que el tiempo de reparto sigue una distribución normal con una desviación típica de 4 minutos.

Cuestiones a Resolver:

1. Construir un intervalo de confianza, con un nivel de confianza del 99%, para el tiempo medio de entrega de esos repartidores.
2. ¿Cuál es el error de estimación en el intervalo anterior? Si, basándonos en la misma muestra, quisiésemos obtener un intervalo de confianza con un nivel de confianza del 99.5%, ¿el error sería mayor o menor que el obtenido en el apartado anterior?

Datos del Problema:

• Tamaño de la muestra (n): 200
• Media muestral (x̄): 17.5 minutos
• Desviación típica (poblacional, σ): 4 minutos
• Distribución: Normal
• Nivel de confianza (apartado a): 99%

a) Construcción del Intervalo de Confianza del 99% para la Media

Como la población sigue una distribución normal y conocemos la desviación típica poblacional (σ), usamos la fórmula para el intervalo de confianza de la media poblacional:

IC = (x̄ - z_α/2 ⋅ (σ / √n), x̄ + z_α/2 ⋅ (σ / √n))

Paso 1: Identificar el Nivel de Confianza y α

• Nivel de confianza: 99% (0.99)
• Entonces: α = 1 - 0.99 = 0.01
• α/2 = 0.01 / 2 = 0.005

Paso 2: Buscar el Valor Crítico z_α/2

• Para α/2 = 0.005, buscamos z_0.005 en la tabla de la distribución normal estándar.
• El valor crítico es aproximadamente: z_0.005 ≈ 2.576

Paso 3: Calcular el Error de Estimación (Margen de Error)

El error de estimación (E) se calcula como:

E = z_α/2 ⋅ (σ / √n)

Sustituyendo los valores:

E = 2.576 ⋅ (4 / √200)

Calculamos √200 ≈ 14.1421

E = 2.576 ⋅ (4 / 14.1421)

E = 2.576 ⋅ 0.28284

E ≈ 0.7288

Paso 4: Calcular el Intervalo de Confianza

Ahora, sustituimos la media muestral (x̄ = 17.5) y el error (E ≈ 0.7288) en la fórmula del intervalo:

IC = (17.5 - 0.7288, 17.5 + 0.7288)

IC = (16.7712, 18.2288)

✅ Respuesta a):
El intervalo de confianza del 99% para el tiempo medio de entrega es aproximadamente: (16.77, 18.23) minutos

b) Error de Estimación y Comparación con otro Nivel de Confianza

Paso 1: Error de Estimación para el 99% de Confianza

Del apartado anterior, el error de estimación para un nivel de confianza del 99% es:

Error ≈ 0.73 minutos (redondeado)

Paso 2: Análisis para un Nivel de Confianza del 99.5%

• Para 99.5% de confianza:
• α = 1 - 0.995 = 0.005
• α/2 = 0.005 / 2 = 0.0025
• Buscamos z_0.0025 en la tabla de la distribución normal estándar.
• El valor crítico es aproximadamente: z_0.0025 ≈ 2.807

🔺 Observamos que el valor crítico z para el 99.5% (2.807) es mayor que el valor crítico z para el 99% (2.576). Como el error de estimación es directamente proporcional al valor crítico z, un aumento en z implica que el error también aumentará.

✅ Respuesta b):

• El error de estimación con el 99% de confianza es aproximadamente: 0.73 minutos.
• Si se usa un nivel de confianza del 99.5%, el error será mayor que 0.73 minutos, porque se necesita un intervalo más amplio para garantizar una mayor confianza.

Álgebra: Resolución de un Sistema de Ecuaciones con Parámetro

Problema 2: Consumo de Vino en una Fiesta

En una fiesta, se bebieron m copas de vino tinto por cada copa de vino blanco. Cada copa (tinto o blanco) contiene 0.15 litros y en total se consumieron 3m litros de vino.

Cuestiones a Resolver:

1. Plantear un sistema de dos ecuaciones en función del parámetro m, donde las incógnitas x e y representen el número de copas de vino tinto y blanco, respectivamente.
2. ¿Para qué valores de m el sistema tiene solución? Si existe solución, ¿es única?
3. ¿Cuántas copas se tomaron de cada tipo si en total se consumieron 9 litros de vino?

a) Planteamiento del Sistema de Ecuaciones

Definimos las incógnitas:

• x: número de copas de vino tinto
• y: número de copas de vino blanco

✳️ El sistema de ecuaciones es:

{ x = m ⋅ y
0.15(x + y) = 3m

b) Discusión del Sistema y Existencia de Solución

Paso 1: Resolver el Sistema en Función de m

Sustituimos x = my en la segunda ecuación:

0.15(my + y) = 3m

0.15y(m + 1) = 3m

Despejamos y:

y = (3m) / (0.15(m + 1))

y = (20m) / (m + 1)

Ahora, sustituimos el valor de y en la primera ecuación para encontrar x:

x = m ⋅ y = m ⋅ (20m) / (m + 1)

x = (20m²) / (m + 1)

Paso 2: Analizar la Existencia y Unicidad de la Solución

📌 El sistema tiene solución única si el denominador de las expresiones para x e y es distinto de cero:

m + 1 ≠ 0

m ≠ -1

✅ Conclusión: El sistema tiene solución única para todo m ≠ -1.

Paso 3: Caso Particular: m = -1

❌ Si m = -1, el sistema de ecuaciones se transforma en:

{ x = -y
0.15(x + y) = 3(-1)

Sustituyendo x = -y en la segunda ecuación:

0.15(-y + y) = -3

0.15(0) = -3

0 = -3

Esta última expresión es una contradicción.

🔻 Conclusión: Si m = -1, el sistema es incompatible y no tiene solución.

c) Cálculo de Copas Consumidas para 9 Litros de Vino

Paso 1: Determinar el Valor de m

Sabemos que el total de litros consumidos es 3m. Si en este caso particular se consumieron 9 litros:

3m = 9

m = 9 / 3

m = 3

Paso 2: Resolver el Sistema con m = 3

Con m = 3, el sistema de ecuaciones se convierte en:

{ x = 3y
0.15(x + y) = 9

De la segunda ecuación, podemos simplificar:

x + y = 9 / 0.15

x + y = 60

Ahora, sustituimos x = 3y en x + y = 60:

3y + y = 60

4y = 60

y = 60 / 4

y = 15 copas de vino blanco

Finalmente, calculamos x:

x = 3y = 3 ⋅ 15

x = 45 copas de vino tinto

✅ Respuesta c):
Si se consumieron 9 litros de vino en total, entonces:

• Se tomaron 45 copas de vino tinto.
• Se tomaron 15 copas de vino blanco.