Estadística Descriptiva: Fórmulas y Conceptos Esenciales para el Manejo de Datos

Conceptos Fundamentales en Estadística Descriptiva

Este documento presenta un compendio de fórmulas y definiciones esenciales utilizadas en estadística descriptiva para el análisis y la interpretación de datos.

Número de Elementos

num = E(3/4 + log n / log 2)

Medidas de Tendencia Central

Mediana

La mediana es el valor central en un conjunto de datos ordenados.

• Para datos no agrupados:

  La mediana se encuentra en la posición: X(n+1)/2

• Para datos agrupados:

  La fórmula para calcular la mediana es:

  X = Li + c * (((n/2) - Fi-1) / fi)

  Donde:

  • Li: Límite inferior de la clase mediana.
  • c: Amplitud de la clase mediana.
  • n: Número total de datos.
  • Fi-1: Frecuencia acumulada de la clase anterior a la clase mediana.
  • fi: Frecuencia absoluta de la clase mediana.

Percentiles y Cuartiles

Los percentiles dividen un conjunto de datos en 100 partes iguales, mientras que los cuartiles lo dividen en 4.

• Para datos no agrupados:
  • Primer Cuartil (Q₁): Q1 = X(n+1)/4
  • Tercer Cuartil (Q₃): Q3 = X3(n+1)/4
• Para datos agrupados (fórmula general para el k-ésimo percentil):

  Xk = Li + c * (((nk/100) - Fk-1) / fk)

  Donde:

  • Li: Límite inferior de la clase del percentil.
  • c: Amplitud de la clase del percentil.
  • n: Número total de datos.
  • k: Percentil deseado (ej. 25 para Q1, 50 para Q2/Mediana, 75 para Q3).
  • Fk-1: Frecuencia acumulada de la clase anterior a la clase del percentil.
  • fk: Frecuencia absoluta de la clase del percentil.

Moda

La moda es el valor que aparece con mayor frecuencia en un conjunto de datos.

• Para datos agrupados:

  La fórmula para calcular la moda es:

  Moda = Li + c * (D1 / (D1 + D2))

  Donde:

  • Li: Límite inferior de la clase modal.
  • c: Tamaño o amplitud de la clase modal.
  • D1: Diferencia entre la frecuencia absoluta de la clase modal y la frecuencia absoluta de la clase anterior.
  • D2: Diferencia entre la frecuencia absoluta de la clase modal y la frecuencia absoluta de la clase posterior.

Medidas de Dispersión

Varianza

La varianza mide la dispersión de los datos alrededor de la media.

• Varianza muestral (no corregida):

  s² = (1/n) * Σ(x - x̄)²

• Varianza muestral corregida (insesgada):

  s²c = (1/(n-1)) * Σ(x - x̄)²

Desviación Media

La desviación media es la media de las desviaciones absolutas de los datos respecto a la media.

D = (1/n) * Σ|x - x̄|

Coeficiente de Variación de Pearson (CV)

El coeficiente de variación es una medida de dispersión relativa que compara la desviación estándar con la media.

CV = s / |x̄| (donde x̄ ≠ 0)

• Si CV < 1: Indica homogeneidad en los datos.
• Si CV > 1.5: Puede ser un indicio de heterogeneidad, posiblemente debido a la mezcla de poblaciones.

Medidas de Forma

Coeficiente de Asimetría (CAS)

El coeficiente de asimetría mide el grado de asimetría de la distribución de los datos.

CAS = (1/(n * s³)) * Σ(x - x̄)³

• Si CAS = 0: La distribución es simétrica.
• Si CAS < 0: La distribución es asimétrica a la izquierda (sesgada negativamente).
• Si CAS > 0: La distribución es asimétrica a la derecha (sesgada positivamente).

Coeficiente de Curtosis (CAP)

El coeficiente de curtosis mide el grado de apuntamiento o achatamiento de una distribución en comparación con una distribución normal.

CAP = (1/(n * s⁴)) * Σ(x - x̄)⁴

• Si CAP = 3: La distribución es mesocúrtica (similar a la normal).
• Si CAP < 3: La distribución es platicúrtica (más achatada que la normal).
• Si CAP > 3: La distribución es leptocúrtica (más apuntada que la normal).

Teorema de Chebyshev

El Teorema de Chebyshev establece que, para cualquier distribución de datos, el porcentaje de observaciones que caen dentro de k desviaciones estándar de la media es al menos (1 - 1/k²) * 100%.

• El intervalo (x̄ - 2s, x̄ + 2s) contiene al menos el 75% de los datos.
• El intervalo (x̄ - 3s, x̄ + 3s) contiene al menos el 88.9% de los datos.
• El intervalo (x̄ - 4s, x̄ + 4s) contiene al menos el 93.75% de los datos.

Transformaciones de Datos

Las transformaciones se utilizan para ajustar la distribución de los datos o para linealizar relaciones.

• Transformaciones lineales:

  y = a + bx

• Transformaciones no lineales:

  Requieren un análisis gráfico para determinar la naturaleza de la relación.

• Caso particular lineal: Tipificación o Estandarización de una variable

  Este proceso convierte una serie de datos xi en una nueva serie zi que tiene una media de 0 y una desviación típica de 1.

  zi = (xi - x̄) / s

Expresiones Gráficas

Las representaciones visuales son fundamentales para comprender la distribución y las características de los datos.

• Histogramas:

  El número de datos en cada clase es proporcional a su área correspondiente, mostrando la distribución de frecuencia de una variable continua.

• Diagrama de Caja o Boxplot:

  Permiten visualizar la distribución de los datos a través de sus cuartiles y detectar la presencia de valores anómalos (outliers).

Conceptos Básicos de Probabilidad

Probabilidad de Sucesos

La probabilidad de un suceso A, denotada como P(A), siempre se encuentra entre 0 y 1 (inclusive).

0 ≤ P(A) ≤ 1

Sucesos Incompatibles

Dos sucesos A y B son incompatibles (o mutuamente excluyentes) si no pueden ocurrir al mismo tiempo. Es decir, su intersección es el conjunto vacío.

P(A ∩ B) = 0

Probabilidad Condicional

La probabilidad de que ocurra el suceso A dado que ha ocurrido el suceso B se calcula como:

P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B) (donde P(B) > 0)

Leyes de De Morgan

Estas leyes relacionan las operaciones de unión, intersección y complemento de sucesos:

• (A ∪ B)ᶜ = Aᶜ ∩ Bᶜ
• (A ∩ B)ᶜ = Aᶜ ∪ Bᶜ

Combinatoria

La combinatoria estudia las diferentes formas de agrupar y ordenar elementos de un conjunto.

Combinación (sin repetición)

El número de formas de elegir k elementos de un conjunto de n elementos distintos, sin importar el orden y sin repetición, se calcula como:

Cnk = (nk) = n! / (k! * (n - k)!)

Combinación con Repetición

El número de formas de elegir k elementos de un conjunto de n elementos distintos, permitiendo la repetición y sin importar el orden, se calcula como:

CRnk = (n+k-1k)

Variación (Permutación sin repetición)

El número de formas de elegir y ordenar k elementos de un conjunto de n elementos distintos, sin repetición, se calcula como:

Vnk = n * (n - 1) * (n - 2) * ... * (n - k + 1)