Estadística Descriptiva e Inferencial: Conceptos y Fórmulas Clave

Escrito el 18 de Febrero de 2025 en español con un tamaño de 6,75 KB

Conceptos Básicos de Estadística Descriptiva

Medidas de Tendencia Central y Dispersión

Me (Mediana): Valor central de un conjunto de datos ordenados. En una representación gráfica, divide el área en dos partes iguales.

Mo (Moda): Valor que más se repite en un conjunto de datos.

Curtosis: Mide el apuntalamiento de una distribución. Una curtosis de 3 indica una distribución normal; mayor que 3 indica una distribución más apuntalada (leptocúrtica).

Asimetría (Skewness): Mide la simetría de una distribución. Un valor de 0 indica simetría; un valor positivo indica asimetría hacia la izquierda (cola más larga a la izquierda).

Representaciones Gráficas según el Tipo de Escala

Escala Nominal

Modalidad
Frecuencia Absoluta (ni): Número de individuos en cada modalidad.
Frecuencia Relativa (fi): Proporción de individuos en cada modalidad (fi = ni / N, donde N es el total de individuos).

Escala Ordinal

Modalidad (xi)
Frecuencia Absoluta (ni)
Frecuencia Absoluta Acumulada (Ni): Suma de las frecuencias absolutas hasta una modalidad dada (Ni = n1 + ... + ni).
Frecuencia Relativa (fi)
Frecuencia Relativa Acumulada (Fi): Suma de las frecuencias relativas hasta una modalidad dada (Fi = Ni / N).

Fórmulas Básicas

ni = Número de individuos
fi = ni / N
Ni = n1 + ... + ni
Fi = Ni / N

Tablas para Variables Agrupadas en Intervalos

Clases (ai-1 - ai): Intervalos de valores.
Marca de Clase (mi): Punto medio del intervalo (mi = (ai-1 + ai) / 2).
Frecuencia Absoluta (ni): Si los datos están agrupados en intervalos, se calcula como la diferencia entre los límites del intervalo.
Frecuencia Absoluta Acumulada (Ni)
Frecuencia Relativa Acumulada (Fi)

Tipificación y Transformaciones Lineales

Tipificación

Una variable tipificada (Z) tiene media 0 y desviación típica 1 (Z = 0, s(z) = 1).

z = (x - X) / S(x)

Donde:

x: Valor original.
X: Media de la variable original.
S(x): Desviación típica de la variable original.

Para calcular la amplitud de cada intervalo en una variable tipificada, se resta la mediana tipificada (Me/S(x)) de los límites del intervalo tipificados (ej: 3 - Me/S(x)).

Transformaciones Lineales

Si y = aX + b, entonces:

s²(y) = a²s²(x)
s(y) = |a|s(x)
Me(y) = aMe(x) + b
Mo(y) = aMo(x) + b

Distribuciones de Probabilidad

Distribución Normal

Si tenemos dos variables aleatorias normales, X1(μ1, σ1) y X2(μ2, σ2), entonces la suma o diferencia de estas variables también sigue una distribución normal:

(X1 ± X2) ~ N((μ1 ± μ2), √(σ1² + σ2²))

Si tenemos 'n' variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas (i.i.d.) xi, cada una con distribución normal N(μ, σ), entonces la suma de estas variables sigue una distribución normal:

Σ xi ~ N(n·μ, σ√n)

Corrección por Continuidad

Al aproximar una distribución discreta a una continua, se aplica una corrección por continuidad:

≤ : +0.5
< : -0.5
≥ : -0.5
> : +0.5

Distribución de Bernoulli

Describe la probabilidad de éxito (1) o fracaso (0) en un solo ensayo.

Distribución Binomial

X = Número de éxitos en n ensayos independientes de Bernoulli.

Ejemplos:

Número de artículos defectuosos en una muestra de n artículos.
Número de clientes que adquieren un producto entre los n que entraron en un establecimiento.
Número de siniestros entre los suscriptores de una póliza de seguro de vida.

P(X=k) = (n! / (k! * (n-k)!)) * p^k * (1-p)^(n-k)

Ejemplo de cálculo de probabilidad acumulada: P(X ≥ 5) = 1 - P(X ≤ 4)

Distribución Geométrica

X = Número de ensayos hasta obtener el primer éxito.

Y = Número de ensayos desde el i-ésimo éxito hasta el primer éxito.

Z = Número de ensayos que transcurren desde el éxito 1 hasta el n+1.

Ejemplos:

Número de ensayos antes de obtener el primer éxito.
Número de artículos revisados antes de encontrar uno defectuoso.
Número de declaraciones correctas antes de encontrar una fraudulenta.
Número de clientes que se informan de un producto antes de que uno lo compre.

Propiedad de pérdida de memoria.

Distribución de Pascal

X = Número de ensayos hasta obtener el r-ésimo éxito.

Y = Número de ensayos realizados desde el éxito número 'i' hasta el r-ésimo éxito.

Z = Número de ensayos que transcurren desde el éxito número 'i' hasta el número 'i+r'.

P(X=k) = (^k-1C_r-1) * p^r * (1-p)^(k-r), para k = r, r+1, ...

Donde ^k-1C_r-1 es el coeficiente binomial, también escrito como (k-1 /r-1).

Distribución de Poisson

Describe el número de eventos que ocurren a una velocidad constante (λ) en un intervalo de tiempo o espacio.

X = Número de sucesos ocurridos en un intervalo de tiempo o longitud.

Ejemplos:

Número de llamadas telefónicas recibidas en una hora.
Número de mensajes de correo electrónico recibidos en una hora.

Distribución Exponencial

X = Tiempo transcurrido hasta que aparece el primer suceso (tiene la propiedad de falta de memoria).

∫_x^∞ f(x) dx

Y = Tiempo de espera desde el instante t0 hasta el próximo suceso. Y ~ Exp(λ)

Z = Tiempo de espera entre el suceso número 'i' y el suceso número 'i+1'. Z ~ Exp(λ)

Distribución Gamma

X = Tiempo de espera hasta que aparece el r-ésimo suceso.

Y = Tiempo de espera desde el instante t0 hasta el r-ésimo suceso.

Z = Tiempo de espera entre el suceso número 'i' y el suceso número 'i+r'.

Y y Z ~ Γ(r, λ)

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