Estadística Descriptiva e Inferencial: Fórmulas Clave y Modelos Probabilísticos

Medidas de Dispersión y Posición

• Rango Intercuartílico (IQR): IQR = Q₃ - Q₁
• Box-Plot:
  • Límite Inferior (LI) = Q₁ - 1.5 * IQR
  • Límite Superior (LS) = Q₃ + 1.5 * IQR
• Cuantil (q_p):
  • Si pN no es entero: q_p = x_([pN]+1)
  • Si pN es entero: q_p = (x_(pN) + x_(pN+1)) / 2
• Varianza (s²): s² = ∑(x_i - x̄)² / N = (∑x_i²) / N - x̄² = ∑(x_i - x̄)²f_i
• Cuasivarianza (s_c²): s_c² = ∑(x_i - x̄)² / (N - 1)
• Desviación Típica: √s²
• Cuasidesviación Típica: √s_c²
• Valores Z: (x_i - x̄) / s
• Coeficiente de Variación (CV): s / |x̄|

Covarianza y Correlación

• Covarianza (s_XY): ∑(x_i - x̄)(y_j - ȳ)f_ij = ∑(x_i - x̄)(y_i - ȳ) / N = 1/N ∑(x_iy_i - ȳx̄)
• Si X e Y son independientes, s_XY = 0
• Coeficiente de Correlación Lineal (r): r = Cov(X,Y) / (s_X * s_Y)
• Si r ≈ 1, hay relación lineal; si r ≈ 0, no hay relación lineal.

Probabilidad

• Probabilidad Condicional: p(A/B) = p(A∩B) / P(B)
• p(A/B) * p(B) = P(A∩B)
• Independencia: p(A∩B) = P(A) * P(B) ≡ P(A/B) = P(A)
• Unión de Sucesos: p(A∪B) = P(A) + p(B) - p(A∩B)
• Sucesos Independientes: p(CCX) = p(C) * p(C) * p(X)
• Número Combinatorio: (a b) = a! / (b! * (a-b)!)

Teorema de Chebyshev

p(μ - kσ ≤ X ≤ μ + kσ) > 1 - 1/k²

Modelos Discretos

Bernoulli

• X → B(p)
• S_X = {1, 0}
• p(X=1) = p
• p(X=0) = 1 - p = q
• E(x) = p
• Var(x) = pq

Geométrica

• X = 'Número de ensayos hasta conseguir éxito en Bernoulli'
• X → G(p)
• S_X = {1, 2, ...}
• p(X=k) = p(1-p)^k-1
• E(x) = 1/p
• Var(x) = (1-p) / p²

Binomial

• X = 'nº elementos entre n observados con cierta característica'
• X → B(n, p)
• S_X = {0, 1, ..., n}
• p(X=k) = (n k) * p^k * (1-p)^n-k
• E(x) = np
• Var(x) = npq
• Y = n - X → B(n, 1-p)
• Simétrica si p = ½; asimetría a la derecha si p < ½

Binomial Negativa

• X = 'Nº ensayos hasta r-ésimo éxito'
• X → BN(r, p)
• S_X = {r, r+1, ...}
• p(X=k) = (k-1 r-1) * p^r * (1-p)^k-r
• E(x) = r/p
• Var(x) = r(1-p) / p²

Hipergeométrica

• X = 'nº individuos con una característica, de n observados en una población de tamaño N con Q que tienen esa característica'
• X → H(N, n, Q)
• S_X = [máx{0, n-(N-Q)}, ..., min{Q, n}]
• p(X=i) = (Q i) * (N-Q n-i) / (N n)
• E(x) = nQ/N
• Var(x) = n(Q/N) * ((N-Q)/N) * (N-n) / (N-1)
• Si N < 50 y n ≤ 0.1, X → H(N, n, Q) ≈ X → B(n, Q/N)

Poisson

• X = 'Cantidad de sucesos en un intervalo de medida A'
• X → P(λ)
• S_X = {0, 1, 2, ...}
• p(X=k) = λ^k * e^-λ / k!
• E(x) = λ
• Var(x) = λ
• X = X₁ + X₂ + ...; λ = λ₁ + λ₂ + ...
• Para n ≥ 30 y p ≤ 0.1, 1 < λ < 10, X → B(n, p) ≈ X → P(λ), λ = np

Modelos Continuos

Exponencial

• T = 'Tiempo entre dos sucesos'
• T → Exp(λ)
• S_X = (0, ∞)
• F(t) = 1 - e^-λt
• E(x) = 1/λ
• Var(x) = 1/λ²
• p(X > h) = e^-λh

Uniforme Continua

• X → U(a, b)
• S_X = [a, b]
• f(x) = 1 / (b - a)
• E(x) = (a + b) / 2
• Var(x) = (b - a)² / 12

Normal

• N(μ, σ)
• p(a < X < b) = p((a - μ) / σ < Z < (b - μ) / σ)

Intervalos de Confianza

IC 1-α