Estadística Inferencial: Cálculo de Intervalos de Confianza y Pruebas de Hipótesis (T, Z, Chi-Cuadrado)

Fundamentos de la Inferencia Estadística

Definiciones Clave

• Confiabilidad (Nivel de Confianza): Es el porcentaje que se utilizará para realizar la prueba, indicando la probabilidad de que el intervalo contenga el parámetro poblacional.
• Nivel de Significación ($\alpha$): Es la diferencia del porcentaje de confianza. Por ejemplo, si el nivel de confianza es del 95% (0.95), entonces $\alpha$ es 0.05.

Intervalos de Confianza (IC)

IC para la Media Poblacional ($\mu$) usando la Distribución T

Se utiliza cuando la varianza poblacional ($\sigma^2$) es desconocida.

Fórmula General:

$$I.C. = \bar{X} \pm ME$$

Componentes y Definiciones

• T (Valor Crítico): Valor de la tabla T-Student. Si es una prueba de doble cola y la confiabilidad es del 95% (0.95), el valor T a buscar corresponde a $\alpha/2$, es decir, $0.05 / 2 = 0.025$.
• $n$: Número de objetos o datos a analizar (tamaño de la muestra).
• $gl$ (Grados de Libertad): $n - 1$.
• $\bar{X}$ (Media Muestral): La suma de los datos dividida por la cantidad de datos ($n$).
• $S$ (Desviación Estándar Muestral): Medida de dispersión de la muestra.
• $ME$ (Margen de Error): El término que se suma y resta a la media muestral.

Comandos de Software

• Excel: Para obtener el valor T crítico de doble cola: INV.T.2C($\alpha$; gl)
• GeoGebra (Estadística):
  • T estimado of mean
  • Confidence Level: 0.95
  • Mean: $\bar{X}$
  • S: Desviación estándar
  • n: Número de datos

IC para la Proporción Poblacional (P) usando la Distribución Z

Se utiliza para estimar la proporción de éxito en una población.

Fórmula General:

$$I.C. = P \pm ME$$

Componentes y Definiciones

• $P$: Proporción muestral.
• $Z$: Valor crítico de la tabla Z (se busca el valor correspondiente a $\alpha/2$).
• $q$: $1 - P$.

Comandos de Software

• GeoGebra: Vista / Cálculo de Probabilidad / Estadística / Nivel de % / Éxitos

IC para la Varianza Poblacional ($\sigma^2$) usando la Distribución Chi-Cuadrado ($\chi^2$)

Este intervalo utiliza dos valores críticos de la distribución $\chi^2$ debido a su asimetría.

Valores Críticos

• Cola Derecha: $\chi^2_{\alpha/2}$
• Cola Izquierda: $\chi^2_{1-\alpha/2}$

Componentes

• $S^2$: Varianza muestral.
• $\chi^2_{\alpha/2}$: El valor que la tabla Chi-Cuadrado devuelve para la cola derecha.

Nota: Para obtener el intervalo de confianza para la desviación estándar ($\sigma$), se debe sacar la raíz cuadrada a los límites del intervalo de la varianza.

Formulación y Pruebas de Hipótesis

Formulación de Hipótesis Estadísticas

• $H_0$ (Hipótesis Nula): Es el supuesto a demostrar. Generalmente, es lo que establece el statu quo o lo que dice el problema. No se puede ni rechazar ni aceptar, solo se puede rechazar o no rechazar.
• $H_a$ (Hipótesis Alternativa): Lleva lo contrario a la $H_0$. Es la afirmación que se acepta si se rechaza la $H_0$.

Criterios para la Selección de la Distribución

• Usaremos tabla T: Si no conocemos la varianza poblacional ($\sigma^2$).
• Usaremos tabla Z: Si conocemos la varianza poblacional ($\sigma^2$).

Pruebas de Hipótesis para la Media ($\mu$)

Determinación de la Región Crítica

La curva se restringe según lo que diga la $H_a$:

• $H_a: \mu > \mu_0$ (Curva a la derecha)
• $H_a: \mu < \mu_0$ (Curva a la izquierda)
• $H_a: \mu \ne \mu_0$ (Doble cola)

Definiciones para el Cálculo del Estadístico de Prueba

• T (Valor Crítico): Valor de la tabla T-Student con respecto a la diferencia de confiabilidad (si es doble cola y la confiabilidad es 95%, el valor T a buscar es $\alpha/2 = 0.025$).
• $n$: Número de objetos a analizar.
• $gl$ (Grados de Libertad): $n - 1$.
• $\bar{X}$ (Media Muestral): La suma de los datos dividida por la cantidad de datos ($n$).
• $S$: Desviación estándar muestral.
• $\alpha$: Nivel de significación (ejemplo: 0.05 para 95% de confianza).
• $\mu$: El valor hipotético establecido en la $H_0$.

Criterio de Decisión (Valor P)

• Valor P en Excel (para prueba de cola derecha): DISTR.T.CD(tp; gl)
• Regla de Decisión: Si el Valor P es menor o igual a $\alpha$, se rechaza la $H_0$.

Pruebas de Hipótesis para la Proporción (P) usando la Distribución Z

Se utiliza la Tabla Z cuando se trabaja con proporciones.

• $P$: Proporción muestral.
• $P_0$: Proporción hipotética (establecida en $H_0$).

Comandos de Excel para Valores Críticos

• Si la tabla Z no proporciona el valor exacto (para $\alpha$ de una cola): INV.NORM.ESTAND($\alpha$)
• Si la tabla T no proporciona el valor exacto (para $\alpha$ de una cola): INV.T($\alpha$; gl)