Estimación por Intervalos de Confianza: Conceptos y Fórmulas Clave

1. Estimación de un Intervalo de Confianza para la Media Poblacional (μ) con Muestras Grandes (n ≥ 30)

Cuando se tiene una muestra grande (n ≥ 30), la media muestral (x̄) sigue una distribución normal:

x̄ ~ N(μ, σ²/n)

Donde:

• μ es la media poblacional.
• σ es la desviación estándar poblacional.
• n es el tamaño de la muestra.

Si estandarizamos la media muestral, obtenemos una distribución normal estándar (Z):

(x̄ - μ) / (σ/√n) = Z ~ N(0, 1)

El nivel de confianza (1 - α) representa la probabilidad de que el intervalo de confianza contenga el verdadero valor del parámetro poblacional a estimar.

Pasos para construir el intervalo de confianza:

1. P(-Z_α/2 < Z < Z_α/2) = 1 - α
2. P(-Z_α/2 < (x̄ - μ) / (σ/√n) < Z_α/2) = 1 - α
3. P(-x̄ - Z_α/2(σ/√n) < -μ < x̄ - Z_α/2(σ/√n)) = 1 - α
4. P(x̄ - Z_α/2(σ/√n) < μ < x̄ + Z_α/2(σ/√n)) = 1 - α

2. Intervalo de Confianza para la Proporción Poblacional (p) con Muestras Grandes (n ≥ 30)

Para muestras grandes, la proporción muestral (P) sigue una distribución normal:

P ~ N(μ_p = p, σ_p = √(p(1-p)/n))

Donde:

• p es la proporción poblacional.
• n es el tamaño de la muestra.

Si estandarizamos la proporción muestral, obtenemos una distribución normal estándar (Z):

(P - p) / √(p(1-p)/n) = Z ~ N(0, 1)

Pasos para construir el intervalo de confianza:

1. P(-Z_α/2 < Z < Z_α/2) = 1 - α
2. P(-Z_α/2 < (P - p) / √(p(1-p)/n) < Z_α/2) = 1 - α
3. P(-Z_α/2 * √(p(1-p)/n) < (P - p) < Z_α/2 * √(p(1-p)/n)) = 1 - α
4. P(-P - Z_α/2 * √(p(1-p)/n) < -p < -P + Z_α/2 * √(p(1-p)/n)) = 1 - α
5. P(P - Z_α/2 * √(p(1-p)/n) < p < P + Z_α/2 * √(p(1-p)/n)) = 1 - α

3. Determinación del Tamaño Mínimo Muestral

Para que el error de estimación (ε) no supere un valor 'e', se utiliza la siguiente fórmula:

ε = Z_α/2 * √(p(1-p)/n) < e

Para el caso más desfavorable, se asume p = q = 0.5.

4. Intervalo de Confianza para la Diferencia de Medias Poblacionales con Muestras Grandes (n₁ ≥ 30, n₂ ≥ 30)

La diferencia de medias muestrales (x̄₁ - x̄₂) sigue una distribución normal:

x̄₁ - x̄₂ ~ N(μ = μ₁ - μ₂, σ = √((σ₁²/n₁) + (σ₂²/n₂)))

Pasos para construir el intervalo de confianza:

1. P(-Z_α/2 < Z < Z_α/2) = 1 - α
2. P(-Z_α/2 < ((x̄₁ - x̄₂) - (μ₁ - μ₂)) / √((σ₁²/n₁) + (σ₂²/n₂)) < Z_α/2) = 1 - α
3. P(-Z_α/2√((σ₁²/n₁) + (σ₂²/n₂)) < ((x̄₁ - x̄₂) - (μ₁ - μ₂)) < Z_α/2√((σ₁²/n₁) + (σ₂²/n₂))) = 1 - α
4. P((x̄₁ - x̄₂) - Z_α/2√((σ₁²/n₁) + (σ₂²/n₂)) < (μ₁ - μ₂) < (x̄₁ - x̄₂) + Z_α/2√((σ₁²/n₁) + (σ₂²/n₂))) = 1 - α

5. Contraste de Hipótesis

El contraste de hipótesis permite comprobar la veracidad o falsedad del valor de un parámetro poblacional. Se plantean dos hipótesis:

• Hipótesis Nula (H₀): Se mantiene como cierta a menos que haya evidencia muestral en su contra. Ejemplo: H₀(μ = 50)
• Hipótesis Alternativa (H₁): Se acepta automáticamente al rechazar H₀. Ejemplo: H₁(μ ≠ 50)

Tipos de contrastes:

• Bilaterales: H₁ considera valores por encima o por debajo de H₀.
• Unilaterales: H₁ considera valores solo por encima o solo por debajo de H₀.

Pasos para realizar un contraste de hipótesis:

1. Establecer H₀ y H₁.
2. Obtener un estadístico de contraste, una variable aleatoria con distribución conocida que contenga el parámetro a contrastar. Establecer su distribución asumiendo H₀ como cierta.
3. Calcular el valor del estadístico para la muestra.
4. Establecer zonas de aceptación y rechazo.

6. Contraste de Hipótesis sobre la Media con Muestras Grandes (n ≥ 30)

1. H₀: μ = μ₀; H₁: μ ≠ μ₀
2. x̄ ~ N(μ = μ₀, σ = σ/√n) => (x̄ - μ₀) / (σ/√n) = Z ~ N(0, 1)
3. Z₀ = (x̄ - μ₀) / (σ/√n)
4. Establecer zonas de aceptación y rechazo en función del nivel de significancia (α).