Estimación de Parámetros Poblacionales: Intervalos de Confianza y Error Muestral

Aplicación a la Distribución Muestral

Al aplicar los conceptos a la distribución muestral, podemos establecer lo siguiente:

a) Confianza en la Media Muestral

En el 95% de las muestras posibles, de igual tamaño que extraigamos de una población, sus medias tendrán un valor comprendido entre la media de la distribución muestral y ± 1,96 veces el error típico (que es la desviación típica de la distribución muestral). (Figura 5).

Esto se traduce en que, en 95 de cada 100 muestras, la media muestral (x̄) se expresará como: x̄ = Media Distribución Muestral ± (1,96 * ∂/√n).

b) Aproximación a la Media Poblacional

Gracias a la Ley de los Grandes Números, sabemos que la media de todas las muestras posibles se aproxima significativamente a la media poblacional (µ). Por lo tanto, podemos sustituir la media de la distribución muestral por la media poblacional en la igualdad anterior.

En consecuencia, en el 95% de las muestras, sus medias se encontrarán a ± 1,96 veces el error típico de la media poblacional. Dicho de otro modo, en 95 de cada 100 muestras, la media muestral será: x̄ = µ ± (1,96 * ∂/√n).

c) Estimación de la Media Poblacional Desconocida

Avanzando un paso más, si consideramos que la media muestral es una buena aproximación de la media poblacional, podemos estimar que la media poblacional desconocida se halla a ± 1,96 veces el error típico de la media observada en nuestra muestra. Esto se cumple con una probabilidad del 95% de las muestras.

La fórmula para esta estimación es: µ = Media de la muestra (x̄) ± (1,96 * ∂/√n), con una probabilidad del 95%.

Nivel de Confianza

La expresión “ocurre en 95 de cada 100 muestras” define el nivel de confianza de la estimación.

En esencia, utilizamos la frecuencia observada en la distribución muestral (el 95% de las muestras) para expresar nuestra confianza en que los resultados obtenidos de una muestra particular reflejen la media poblacional.

Error Muestral o de Estimación

El término (1,96 * ∂/√n), que representa aproximadamente dos veces el error típico que separa la media poblacional de la media muestral, se denomina error muestral o error de estimación.

El error muestral o de estimación es el margen de error que cometemos al inferir la media de la población a partir de la media observada en una muestra. Representa la diferencia entre el estadístico (media muestral) y el parámetro poblacional (media poblacional).

Este error refleja la variabilidad inherente al obtener diferentes medias muestrales al extraer múltiples muestras aleatorias de la misma población.

Intervalo de Confianza

El rango definido por estos valores se conoce como intervalo de confianza de la estimación. Este intervalo se compone de un límite inferior y un límite superior.

• Límite inferior: x̄ – (1,96 * ∂/√n)
• Límite superior: x̄ + (1,96 * ∂/√n)

El intervalo de confianza nos indica entre qué valores aproximados, basándonos en la media de una sola muestra, es probable que se encuentre la media de la población. La confianza en que este intervalo contenga el verdadero valor del parámetro poblacional es del 95% (el nivel de confianza).

Ejemplo Práctico

Imaginemos que la media de habilidad lectora en inglés de una muestra de alumnos de secundaria es de 72 puntos (en una escala de 0 a 100), con un error muestral de ± 2 puntos. Esto implicaría que la media de la población se situaría probablemente entre 70 y 74 puntos.

Si extrajéramos otra muestra, su media podría ser 73; de otra, 71; y así sucesivamente. Sin embargo, en el 95% de las muestras que obtuviéramos de esa población, la media de cada muestra estaría comprendida entre 70 y 74 puntos. Dado que esta proporción es alta (95 de cada 100), estimamos que la media poblacional se encuentra dentro de ese mismo rango.

Consideraciones sobre el Error Muestral

Si bien podemos calcular el error muestral, en la práctica se suelen seleccionar márgenes de error muestral que oscilan entre ± 2% y 2,5%, sin exceder el 4%.