Estimadores de Parámetros Poblacionales: Comparativa entre Tests de Pearson y Kolmogorov-Smirnov

Estimadores de Parámetros Poblacionales

Supongamos que tenemos una población con función de densidad f(x, O), en donde O es el parámetro desconocido. Consideramos tres estimadores O1, O2 y O3 del parámetro O, basados en muestras aleatorias del mismo tamaño. Las distribuciones de los tres estimadores son las que aparecen en el gráfico, donde se observa que las distribuciones correspondientes a O1 y O3 tienen como media el parámetro poblacional o. Es decir, ambos estimadores O1 y O3 son insesgados. Sin embargo, la distribución de O2 es sesgada, ya que tiene un sesgo positivo, pues su media es mayor que el parámetro poblacional.

Varianza de los Estimadores

En cuanto a la varianza de los tres estimadores, se observa que la más pequeña es la correspondiente a O2. Sin embargo, este estimador no es más eficiente y no es insesgado.

Estimador Eficiente

Diremos que un estimador ô del parámetro poblacional O es eficiente si es insesgado y además su varianza alcanza la cota de Fréchet-Cramér-Rao. Esto quiere decir que un estimador Ô es eficiente si su varianza coincide con la cota de F-C-R.

Comparación entre Tests de Pearson y Kolmogorov-Smirnov

1. En general, el test de Pearson es más complicado de aplicar que el de Kolmogorov-Smirnov.
2. El test de Pearson utiliza datos agrupados en intervalos, mientras que el de Kolmogorov-Smirnov utiliza los datos observados directamente.
3. El test de Pearson está pensado para grandes muestras y su distribución es aproximada; sin embargo, el test de Kolmogorov-Smirnov se puede aplicar para muestras pequeñas.
4. El test de Pearson permite estimar los parámetros desconocidos, lo cual no es posible con el test de Kolmogorov-Smirnov, salvo para el caso de la distribución normal.
5. El test de Kolmogorov-Smirnov está pensado para funciones de distribución completamente específicas.
6. En cuanto a la potencia, hay cierta controversia, pero en general la potencia del test de Kolmogorov-Smirnov es mayor que la del test de Pearson, aunque cuando n es suficientemente grande, las potencias tienden a coincidir.
7. El test de Pearson se aplica tanto a poblaciones discretas como continuas; sin embargo, en el test de Kolmogorov-Smirnov se requiere que la población de partida sea continua, es decir, que la población de donde se extrae la muestra sea continua.