Estrategias de Cálculo en Oligopolios: Modelos de Bertrand, Cournot y Colusión

Procedimientos para la Determinación del Equilibrio en Modelos de Oligopolio

Modelo de Bertrand (Costes Iguales)

El modelo de Bertrand se centra en la competencia vía precios. El equilibrio se alcanza cuando el precio es igual al Coste Marginal ($P = CMg$).

1. Función de Demanda: Determinar la demanda de la Empresa 1 ($Q_1$) en función de los precios ($P_1, P_2$):
   • Si $P_1 < P_2$: $Q_1 = Q(P_1)$ (La Empresa 1 captura todo el mercado).
   • Si $P_1 = P_2$: $Q_1 = \frac{1}{2}Q(P_1)$ (Las empresas se dividen el mercado).
   • Si $P_1 > P_2$: $Q_1 = 0$ (La Empresa 1 no vende nada).
2. Igualar Precio y Coste Marginal: Establecer el precio de equilibrio ($P_{eq}$) igual al Coste Marginal ($CMg$).
3. Sustitución en la Demanda: Sustituir el $P_{eq}$ en la función de demanda para encontrar la cantidad producida por cada empresa ($Q_1, Q_2$).
4. Cálculo de Beneficios: Sustituir $P$ y $Q$ en la Función de Beneficios ($B = (P_i - C) \cdot Q_i$). En el equilibrio de Nash de Bertrand con costes iguales, los beneficios son cero ($B=0$). Esto se conoce como la Trampa de Bertrand.

Modelo de Bertrand con Costes Diferentes

En este caso, la empresa con el Coste Marginal más bajo puede fijar un precio ligeramente inferior al coste de su competidor.

1. Función de Demanda: Se utiliza la misma lógica de la función de demanda que en el modelo de Bertrand con costes iguales.
2. Determinación del Precio de Equilibrio ($P_{eq}$): El precio lo adopta la empresa con el $CMg$ más bajo. Este precio será el valor justo por debajo del $CMg$ más alto del competidor.
3. Sustitución en la Función de Cantidad ($Q_i$): Sustituir $P_{eq}$ en la función de demanda. La empresa con el $CMg$ más alto tendrá una cantidad vendida igual a cero ($Q_2 = 0$, si $P_1 < P_2$).
4. Cálculo de Beneficios: Sustituir $P$ y $Q$ en la Función de Beneficios. La empresa con costes más bajos obtendrá beneficios ($B_1 > 0$), mientras que la otra empresa tendrá beneficios nulos ($B_2 = 0$).
5. Maximización de Beneficios: Si la empresa dominante tiene capacidad para fijar un precio superior al $CMg$ del competidor sin que este entre en el mercado, se debe maximizar el beneficio para encontrar la $Q$ óptima.

Modelo de Cournot (Costes Iguales)

El modelo de Cournot se centra en la competencia vía cantidades. El equilibrio se determina por la intersección de las Funciones de Reacción Óptima (FRO).

1. Determinar la Función de Ingreso Total (IT): Para la Empresa 1, $IT_1 = P(Q) \cdot q_1$, donde $Q = q_1 + q_2$.
2. Calcular Ingreso Marginal (IMg) y Coste Marginal (CMg): Obtener $IMg_1 = \frac{\partial IT_1}{\partial q_1}$ y $CMg_1$.
3. Igualar IMg y CMg: Establecer $IMg_1 = CMg_1$ y resolver la ecuación aislando $q_1$.
4. Obtener las Funciones de Reacción Óptima (FRO): Aislar $q_1$ (FRO de la Empresa 1) y, por simetría, obtener $q_2$ (FRO de la Empresa 2).
5. Encontrar las Cantidades de Equilibrio: Resolver el sistema de ecuaciones formado por las dos FRO para encontrar $q_1$ y $q_2$.
6. Encontrar el Precio de Equilibrio de Nash: Sustituir las cantidades de equilibrio ($q_1$ y $q_2$) en la función de precio $P(Q)$.

Modelo de Cournot con Costes Diferentes

1. Determinar la Función de Ingreso Total (IT): $IT_i = P(q_1 + q_2) \cdot q_i$ para cada empresa.
2. Calcular Coste Marginal (CMg): Obtener $CMg_1$ y $CMg_2$ (serán diferentes).
3. Igualar IMg y CMg para cada empresa: $IMg_1 = CMg_1$ e $IMg_2 = CMg_2$.
4. Obtener las Funciones de Reacción: Aislar $q_1$ y $q_2$ para encontrar las FRO.
5. Encontrar las Cantidades de Equilibrio: Resolver el sistema de ecuaciones. Las cantidades $q_1$ y $q_2$ serán distintas.
6. Encontrar el Precio de Equilibrio de Nash: Sustituir $q_1$ y $q_2$ en la función de precio.

Competencia Monopolística y Bertrand con Productos Diferenciados

Este modelo aplica la competencia vía precios cuando los productos no son sustitutos perfectos.

1. Encontrar las Funciones Lineales de Demanda: Obtener las funciones de demanda directas ($Q_i$) a partir de las funciones de demanda inversas ($P_i$).
2. Expresar la Demanda: Dejar aisladas $Q_1$ y $Q_2$ en función de $P_1$ y $P_2$.
3. Función de Beneficios: Dado que las demandas son simétricas y el $CMg$ es el mismo, sustituir la demanda en la Función de Beneficios: $B_i = (P_i - CMg) \cdot Q_i$.
4. Maximización de Beneficios: Derivar la Función de Beneficios respecto a $P_i$.
5. Obtener las FRO de Precios: Igualar la derivada del Beneficio a cero ($\frac{\partial B_i}{\partial P_i} = 0$) para encontrar las Funciones de Reacción Óptima de $P_1$ y $P_2$.
6. Encontrar el Precio de Equilibrio: Sustituir $P_2$ en la función de $P_1$ (o viceversa) y resolver para encontrar el precio de equilibrio. El precio será el mismo para ambas empresas.
7. Encontrar las Cantidades de Equilibrio: Sustituir los precios de equilibrio en la función de $Q_1$ (del paso 2) para encontrar $Q_1$ y $Q_2$ (serán iguales).
8. Cálculo de Beneficios: Calcular los beneficios de equilibrio: $B = (P - CMg) \cdot Q$.

Modelo de Colusión (Cártel)

En un cártel, las empresas actúan conjuntamente para maximizar el beneficio total del grupo, comportándose como un monopolio.

1. Definición de la Demanda y Costes: Se utilizan los mismos datos de demanda y costes que en los modelos de Cournot con costes diferentes.
2. Determinar la Función de Ingreso Total del Cártel: $IT_{Total} = P(Q) \cdot Q$, donde $Q = q_1 + q_2$.
3. Obtener el Ingreso Marginal del Cártel: Derivar $IT_{Total}$ respecto a $Q$ para obtener $IMg_{Total}$. (Este $IMg$ es el mismo para ambas empresas).
4. Obtener los Costes Marginales Individuales: A partir de los Costes Totales ($CT_1$ y $CT_2$), obtener $CMg_1$ y $CMg_2$.
5. Igualar IMg y CMg para cada empresa:
   • $IMg_{Total} = CMg_1 \rightarrow$ Ecuación de la Empresa 1.
   • $IMg_{Total} = CMg_2 \rightarrow$ Ecuación de la Empresa 2.
6. Encontrar las Cantidades de Colusión: Resolver el sistema de ecuaciones para encontrar $q_1$ y $q_2$. Las cantidades serán distintas si los costes son diferentes.
7. Encontrar el Precio de Colusión: Con $q_1$ y $q_2$, encontrar el precio $P(Q)$. Este precio será distinto al equilibrio de Nash de Cournot.
8. Análisis de Estabilidad y Pagos Bilaterales: Comparar los beneficios obtenidos en el equilibrio de Nash (Cournot) y en el cártel. Determinar si es necesario un pago bilateral para que la solución de colusión sea estable y se mantenga como un equilibrio de Nash.