Estudio Completo de Funciones: Continuidad, Derivabilidad y Optimización

Estudio de una Función de Beneficio

El siguiente documento detalla el estudio de una función de beneficio, expresado en miles de euros, alcanzado en una tienda de ropa durante el año pasado. Se abordan aspectos de continuidad, derivabilidad y optimización.

a) Continuidad y Derivabilidad de la Función de Beneficio B(t)

La función de beneficio B(t) se define a trozos. Para determinar su continuidad y derivabilidad en el punto de unión, t = 6, procedemos con los siguientes pasos:

1. Estudio de la Continuidad en t = 6

Para que una función sea continua en un punto, el valor de la función en ese punto debe ser igual a los límites laterales en dicho punto.

• Valor de la función en t = 6:
  B(6) = (6² / 8) - 6 + 5 = 36/8 - 6 + 5 = 9/2 - 1 = 7/2.
• Límite por la izquierda en t = 6:
  lim_t→6^- B(t) = lim_t→6^- (t² / 8 - t + 5) = (6² / 8) - 6 + 5 = 36/8 - 6 + 5 = 9/2 - 1 = 7/2.
• Límite por la derecha en t = 6:
  lim_t→6⁺ B(t) = lim_t→6⁺ ((t + 1) / 2) = (6 + 1) / 2 = 7/2.

Dado que B(6) = lim_t→6^- B(t) = lim_t→6⁺ B(t) = 7/2, concluimos que la función B(t) es continua en t = 6.

2. Estudio de la Derivabilidad en t = 6

Para que B(t) sea derivable en t = 6, las derivadas laterales deben ser iguales. Primero, calculamos la derivada de cada rama de la función:

• Si t ≤ 6, B(t) = t² / 8 - t + 5 → B'(t) = t / 4 - 1.
• Si t > 6, B(t) = (t + 1) / 2 → B'(t) = 1 / 2.

Ahora, evaluamos las derivadas laterales en t = 6:

• Derivada por la izquierda en t = 6:
  B'(6^-) = lim_t→6^- B'(t) = lim_t→6^- (t / 4 - 1) = 6 / 4 - 1 = 3/2 - 1 = 1/2.
• Derivada por la derecha en t = 6:
  B'(6⁺) = lim_t→6⁺ B'(t) = lim_t→6⁺ (1 / 2) = 1/2.

Como B'(6^-) = B'(6⁺) = 1/2, se determina que la función B(t) es derivable en t = 6.

b) Cálculo del Beneficio Mínimo Absoluto

El mínimo absoluto de una función en un intervalo cerrado [a, b] se encuentra entre los siguientes puntos:

• Los extremos del intervalo (t = 0 y t = 12).
• Los puntos donde la función no es continua o derivable (en este caso, no aplica ya que B(t) es continua y derivable en t=6).
• Las soluciones de B'(t) = 0 (puntos críticos).

Calculamos los puntos críticos:

• Para t < 6, B(t) = t² / 8 - t + 5. Su derivada es B'(t) = t / 4 - 1.
• Igualando B'(t) = 0, obtenemos t / 4 - 1 = 0 → t = 4. Este punto (t=4) se encuentra en el dominio de esta rama (t < 6).

Ahora, sustituimos todos estos valores en la función B(t) para encontrar el beneficio en cada punto:

• B(0) (extremo izquierdo): B(0) = (0)² / 8 - 0 + 5 = 5.
• B(12) (extremo derecho, usando la rama t > 6): B(12) = (12 + 1) / 2 = 13/2 = 6.5.
• B(6) (punto de unión): B(6) = (6)² / 8 - 6 + 5 = 7/2 = 3.5.
• B(4) (punto crítico): B(4) = (4)² / 8 - 4 + 5 = 16/8 - 4 + 5 = 2 - 4 + 5 = 3.

Comparando los valores obtenidos (5, 6.5, 3.5, 3), el beneficio mínimo absoluto es de 3 (miles de euros), lo que equivale a 3000 €, y se alcanza en el tiempo t = 4 meses.

c) Cálculo del Beneficio Máximo Absoluto

De la comparación de los valores de B(t) en los puntos relevantes (0, 4, 6, 12), el beneficio máximo absoluto es de 6.5 (miles de euros), lo que equivale a 6500 €. Este máximo se corresponde con el tiempo t = 12 meses.

La representación gráfica de la función B(t) ilustraría estos puntos de interés.

Estudio de una Función Definida a Trozos

Se presenta el estudio de la función f(x) definida a trozos, analizando su continuidad, derivabilidad y la existencia de asíntotas.

a) Continuidad y Derivabilidad de f(x)

La función f(x) se define como:

• f(x) = x² - 3x + 4 si x ≤ 2
• f(x) = 4 - a/x si x > 2

1. Estudio de la Continuidad en x = 2

Para que f(x) sea continua en x = 2, los límites laterales deben ser iguales al valor de la función en ese punto.

• Límite por la izquierda en x = 2:
  lim_x→2^- (x² - 3x + 4) = 2² - 3(2) + 4 = 4 - 6 + 4 = 2.
• Límite por la derecha en x = 2:
  lim_x→2⁺ (4 - a/x) = 4 - a/2.

Igualando los límites para asegurar la continuidad:

2 = 4 - a/2
a/2 = 2
a = 4.

Con a = 4, la función es continua en x = 2.

2. Estudio de la Derivabilidad en x = 2

Para que f(x) sea derivable en x = 2, las derivadas laterales deben ser iguales. Primero, calculamos la función derivada f'(x) con a = 4:

• Si x < 2, f(x) = x² - 3x + 4 → f'(x) = 2x - 3.
• Si x > 2, f(x) = 4 - 4/x → f'(x) = 4/x².

Ahora, evaluamos las derivadas laterales en x = 2:

• Derivada por la izquierda en x = 2:
  f'(2^-) = 2(2) - 3 = 4 - 3 = 1.
• Derivada por la derecha en x = 2:
  f'(2⁺) = 4 / (2²) = 4 / 4 = 1.

Dado que f'(2^-) = f'(2⁺) = 1, la función f(x) es derivable en x = 2. Por lo tanto, la función es derivable en todo R.

b) Asíntotas de la Función f(x)

Analizamos las asíntotas para cada rama de la función:

• La rama f(x) = x² - 3x + 4 (para x ≤ 2) es una función polinómica, por lo que no tiene asíntotas.
• La rama f(x) = 4 - 4/x (para x > 2):
  • Asíntota Vertical: Una posible asíntota vertical sería en x = 0, donde el denominador se anula. Sin embargo, el dominio de esta rama es x > 2, por lo que x = 0 está fuera de su dominio y no hay asíntota vertical en esta rama.
  • Asíntota Horizontal: Calculamos el límite cuando x tiende a infinito:
    lim_x→∞ f(x) = lim_x→∞ (4 - 4/x) = 4 - 4/∞ = 4 - 0 = 4. Por lo tanto, la función tiene una asíntota horizontal en y = 4.
  • Asíntota Oblicua: Al tener una asíntota horizontal, no tiene asíntota oblicua.

Análisis Completo de una Función Racional

Se realiza un estudio exhaustivo de la función racional f(x) = 4x / (2x + 1), incluyendo su dominio, puntos de corte con los ejes, asíntotas, monotonía y concavidad.

a) Dominio, Puntos de Corte y Asíntotas

• Dominio de la función: El denominador no puede ser cero. 2x + 1 = 0 → x = -1/2. Por lo tanto, el dominio de f(x) es R \ {-1/2}.
• Asíntotas Verticales: Se producen donde el denominador es cero y el numerador no. En x = -1/2, el numerador es 4(-1/2) = -2 ≠ 0. Por lo tanto, hay una asíntota vertical en x = -1/2.
• Asíntotas Horizontales: Calculamos el límite cuando x tiende a infinito:
  lim_x→±∞ f(x) = lim_x→±∞ (4x / (2x + 1)) = lim_x→±∞ (4 / (2 + 1/x)) = 4 / 2 = 2. Por lo tanto, hay una asíntota horizontal en y = 2.
• Asíntotas Oblicuas: Al tener una asíntota horizontal, la función no tiene asíntotas oblicuas.
• Puntos de Corte con los Ejes:
  • Corte con el eje X (y = 0):
    4x / (2x + 1) = 0 → 4x = 0 → x = 0. El punto de corte es (0, 0).
  • Corte con el eje Y (x = 0):
    f(0) = 4(0) / (2(0) + 1) = 0 / 1 = 0. El punto de corte es (0, 0).

b) Monotonía y Concavidad

Para estudiar la monotonía y concavidad, calculamos la primera y segunda derivada de f(x) = 4x / (2x + 1).

1. Primera Derivada y Monotonía

Aplicamos la regla del cociente para f'(x):

f'(x) = [4(2x + 1) - 4x(2)] / (2x + 1)²
f'(x) = [8x + 4 - 8x] / (2x + 1)²
f'(x) = 4 / (2x + 1)²

Para encontrar los puntos críticos, igualamos f'(x) a cero:

4 / (2x + 1)² = 0

Esta ecuación no tiene solución, ya que el numerador es una constante no nula. Además, (2x + 1)² es siempre positivo para x ≠ -1/2. Por lo tanto, f'(x) > 0 para todo x en su dominio.

Concluimos que la función f(x) es siempre creciente en todo su dominio. Consecuentemente, no tiene máximos ni mínimos locales.

2. Segunda Derivada y Concavidad

Calculamos la segunda derivada, f''(x), a partir de f'(x) = 4 * (2x + 1)^-2:

f''(x) = 4 * (-2) * (2x + 1)^-3 * 2
f''(x) = -16 / (2x + 1)³

Para encontrar los puntos de inflexión, igualamos f''(x) a cero:

-16 / (2x + 1)³ = 0

Esta ecuación no tiene solución. Analizamos el signo de f''(x) en el dominio:

• Si x > -1/2, entonces (2x + 1) > 0, por lo que (2x + 1)³ > 0. Así, f''(x) = -16 / (positivo) < 0. La función es cóncava hacia abajo (o simplemente cóncava) en el intervalo (-1/2, +∞).
• Si x < -1/2, entonces (2x + 1) < 0, por lo que (2x + 1)³ < 0. Así, f''(x) = -16 / (negativo) > 0. La función es cóncava hacia arriba (o convexa) en el intervalo (-∞, -1/2).

Aunque la concavidad cambia alrededor de x = -1/2, este punto no pertenece al dominio de la función. Por lo tanto, la función no tiene puntos de inflexión.