Estudio Completo de Funciones y Fundamentos del Cálculo Integral

Estudio de Funciones: Pasos Esenciales

1. Dominio

   Determinar el conjunto de valores para los cuales la función está definida.

2. Puntos de corte con los ejes

   • Eje OY (Ordenadas): Calcular f(0). El punto de corte es (0, f(0)), si 0 pertenece al dominio.
   • Eje OX (Abscisas): Resolver la ecuación f(x) = 0. Las soluciones son las abscisas de los puntos de corte (x, 0).

3. Regiones (Signo de la función)

   Estudiar el signo de f(x) en los intervalos definidos por los puntos de corte con el eje OX y los puntos fuera del dominio.

4. Simetrías

   • Función Par (Simetría respecto al eje OY): Si f(x) = f(-x) para todo x en el dominio.
   • Función Impar (Simetría respecto al origen): Si f(-x) = -f(x) para todo x en el dominio.

5. Periodicidad

   Una función es periódica, de período T (T > 0), si f(x) = f(x + T) para todo x en el dominio.

6. Continuidad y Derivabilidad

   Estudiar los puntos donde la función es continua y derivable, prestando especial atención a los puntos que anulan denominadores, cambios de definición en funciones a trozos, etc.

7. Asíntotas

   Buscar asíntotas verticales, horizontales y oblicuas.

8. Monotonía y Extremos Relativos

   Estudiar el signo de la primera derivada (f'(x)) para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como los máximos y mínimos relativos.

9. Curvatura y Puntos de Inflexión

   Estudiar el signo de la segunda derivada (f''(x)) para determinar los intervalos de concavidad y convexidad, así como los puntos de inflexión.

Conceptos Fundamentales del Cálculo Integral

Primitivas e Integrales Indefinidas

Función Primitiva

Dada una función f(x), diremos que la función F(x) es una función primitiva de f(x) en un intervalo I, si se verifica que F'(x) = f(x) para todo x ∈ I (∀x ∈ I).

Integral Indefinida

Llamaremos integral indefinida de una función f(x) al conjunto de todas sus funciones primitivas. Si F(x) es una primitiva de f(x), la integral indefinida se representa como:

∫ f(x) dx = F(x) + C

donde C es la constante de integración (C ∈ ℝ).

La Integral Definida y sus Teoremas

Función Integral

Dada una función f(t) continua en [a, b], definimos en el mismo intervalo la función integral (o función de área acumulada) como:

F(x) = ∫_a^x f(t) dt

Obsérvese que:

• Si x = a, entonces F(a) = ∫_a^a f(t) dt = 0.
• Si x = b, entonces F(b) = ∫_a^b f(t) dt, que es la integral definida de f en [a, b].
• Si f(t) > 0 en [a, b], F(x) representa el área bajo la curva de f(t) en el intervalo [a, x].

Teorema Fundamental del Cálculo Integral (Primera Parte)

Si f es continua en [a, b], entonces la función integral asociada F(x) = ∫_a^x f(t) dt es derivable en [a, b] y su derivada es:

F'(x) = f(x) para todo x ∈ [a, b].

Generalización (Derivada de una integral con límites variables):

Si G(x) = ∫_u(x)^v(x) f(t) dt, donde f es continua y u(x), v(x) son derivables, entonces:

G'(x) = f(v(x)) · v'(x) - f(u(x)) · u'(x)

Regla de Barrow (Teorema Fundamental del Cálculo - Segunda Parte)

Si f es continua en [a, b] y G es cualquier primitiva de f en [a, b], entonces:

∫_a^b f(x) dx = G(b) - G(a)

Esto se suele notar como: [G(x)]_a^b.

Teorema del Valor Medio del Cálculo Integral

Si f es continua en [a, b], entonces existe al menos un número c en el intervalo (a, b) (∃ c ∈ (a, b)) tal que:

∫_a^b f(x) dx = f(c) · (b - a)

Interpretación geométrica: El teorema asegura que el área bajo la curva de f(x) entre a y b (∫_a^b f(x) dx) es igual al área de un rectángulo con base (b - a) y altura f(c), donde f(c) es un valor que la función alcanza dentro del intervalo (a, b).

Nota: Si f es continua en [a,b], alcanza un valor mínimo m y un valor máximo M en dicho intervalo. Se puede demostrar que m(b-a) ≤ ∫_a^b f(x) dx ≤ M(b-a), y el Teorema del Valor Medio garantiza que el valor de la integral es exactamente f(c)(b-a) para algún c intermedio.