Estudio Detallado de Funciones Radicales: Propiedades y Representación Gráfica

Estudio de Funciones Radicales sin Denominador

Consideremos la función: f(x) = √(x² - 4)

1. Dominio y Continuidad

• Dominio: El interior de la raíz debe ser mayor o igual a 0.
  • x² - 4 ≥ 0
  • Factorizando: (x - 2)(x + 2) ≥ 0
  • Los puntos críticos son x = 2 y x = -2.
  • Se traza una línea numérica y se representan los dos valores obtenidos. Luego, se sustituyen valores de cada intervalo en el interior de la raíz para determinar el dominio:
    • Para x = -3: (-3)² - 4 = 9 - 4 = 5 ≥ 0 (Verdadero)
    • Para x = 0: (0)² - 4 = -4 ≥ 0 (Falso)
    • Para x = 3: (3)² - 4 = 9 - 4 = 5 ≥ 0 (Verdadero)
  • Por lo tanto, el dominio de la función es: Dom f(x) = (-∞, -2] ∪ [2, +∞).
• Continuidad: Todas las funciones radicales son continuas en su dominio.

2. Puntos de Corte

• Eje X (cuando y = 0):
  • f(x) = √(x² - 4) = 0
  • Elevando al cuadrado ambos lados: x² - 4 = 0
  • x² = 4
  • x = 2 y x = -2
• Eje Y (cuando x = 0):
  • f(0) no existe, ya que 0 está fuera del Dom f(x).
• Puntos de corte: (2, 0) y (-2, 0).

3. Signo de la Función

La función es siempre positiva (+), a menos que haya un signo negativo (-) precediendo la raíz. En este caso, f(x) > 0 para todo x en su dominio.

4. Simetría

• Definiciones:
  • Función Par: f(x) = f(-x)
  • Función Impar: f(x) = -f(-x)
• Calculamos f(-x):
  • f(-x) = √((-x)² - 4) = √(x² - 4)
  • Dado que f(-x) = f(x), la función f(x) es simétrica par.

5. Asíntotas

La función no tiene asíntotas, ya que no presenta denominador.

6. Tabla de Valores

Para una representación gráfica más precisa, se recomienda construir una tabla de valores con puntos dentro del dominio.

Estudio de Funciones Radicales con Denominador

Consideremos la función: f(x) = x² / √(x - 1)

1. Dominio y Continuidad

• Dominio: El interior de la raíz en el denominador debe ser estrictamente mayor que 0.
  • x - 1 > 0
  • x > 1
  • Por lo tanto, el dominio de la función es: Dom f(x) = (1, +∞).
• Continuidad: Todas las funciones radicales son continuas en su dominio.

2. Puntos de Corte

• Eje X (cuando y = 0):
  • f(x) = x² / √(x - 1) = 0
  • Esto implica x² = 0, por lo tanto x = 0.
  • Sin embargo, x = 0 está fuera del Dom f(x).
• Eje Y (cuando x = 0):
  • f(0) no existe, ya que 0 está fuera del Dom f(x).
• Conclusión: No hay puntos de corte con los ejes.

3. Signo de la Función

La función es siempre positiva (+), a menos que haya un signo negativo (-) precediendo la raíz. En este caso, f(x) > 0 para todo x en su dominio.

4. Simetría

• Definiciones:
  • Función Par: f(x) = f(-x)
  • Función Impar: f(x) = -f(-x)
• Evaluación:
  • No es posible calcular f(-x) porque el Dom f(x) = (1, +∞) no incluye valores negativos.
  • Por lo tanto, la función no presenta simetría.

5. Asíntotas

• Asíntota Vertical:
  • Se iguala el denominador a 0: x - 1 = 0, lo que implica x = 1.
  • Evaluamos los límites laterales:
    • lim_(x→1⁻) f(x) no existe, ya que el Dom f(x) = (1, +∞).
    • lim_(x→1⁺) (x² / √(x - 1)) = (1)² / √(1⁺ - 1) = 1 / √(0⁺) = 1 / 0⁺ = +∞.
  • Existe una asíntota vertical en x = 1.
• Asíntota Horizontal:
  • Calculamos el límite cuando x → ∞:
    • lim_(x→∞) (x² / √(x - 1)) = lim_(x→∞) (x² / x^(1/2)) = lim_(x→∞) x^(3/2) = +∞.
  • No tiene asíntota horizontal, ya que el límite no converge a un número finito.
• Asíntota Oblicua:
  • Calculamos m = lim_(x→∞) (f(x) / x):
    • m = lim_(x→∞) (x² / (x√(x - 1))) = lim_(x→∞) (x / √(x - 1)).
    • Para evaluar este límite, podemos reescribir la expresión:
      • lim_(x→∞) (x / √(x - 1)) = lim_(x→∞) (√(x²) / √(x - 1)) = lim_(x→∞) √(x² / (x - 1)).
      • Dado que el grado del numerador (dentro de la raíz) es mayor que el del denominador, el límite tiende a +∞.
  • No existe asíntota oblicua, ya que el límite de f(x)/x no es un número finito y distinto de cero.

6. Máximos y Mínimos

• Cálculo de la Primera Derivada:
  • Se calcula la primera derivada y se iguala a 0 para encontrar los puntos críticos.
  • f'(x) = (3x² - 4x) / (2√(x - 1)(x - 1)) = 0
  • Esto implica que el numerador debe ser cero: 3x² - 4x = 0
  • Factorizando: x(3x - 4) = 0
  • Posibles puntos críticos: x = 0 y x = 4/3.
• Evaluación de Puntos Críticos:
  • x = 0: No es válido, ya que 0 no está dentro del Dom f(x).
  • x = 4/3: Este valor sí está en el dominio.
• Evaluación de la Función en el Punto Crítico:
  • Se evalúa la función en el punto crítico para encontrar el valor de y.
  • f(4/3) = (4/3)² / √((4/3) - 1) = (16/9) / √(1/3) = (16/9) * √3 ≈ 3.079.
• Conclusión:
  • Existe un mínimo relativo en el punto (4/3, 3.08) (aproximadamente).

7. Tabla de Valores

Para una representación gráfica más precisa, se recomienda construir una tabla de valores con puntos dentro del dominio.