Estudio de Funciones Cuadráticas y Polinómicas: Análisis de Intersecciones y Máximos

a) %IMAGE_1% = %IMAGE_2% - 2x; %IMAGE_3% = 4x - %IMAGE_4%
buscando cruces en %IMAGE_5%:
%IMAGE_6%o x(x-2)=0 => x=0 o x=2 buscando máximo o mínimo en %IMAGE_7%:
%IMAGE_8% = 2x-2 = 0 => x=1 => y(1) = %IMAGE_9% - 2(1) = 1 - 2 = -1
cm %IMAGE_10% s 1a parábola y a = 1 > 0, la parábola abre hacia arriba, la siguiente tabla resume esto:
x 2y1+-+
buscando cruces en %IMAGE_11%:
y=4x- %IMAGE_12% =0 x(4-x)=0 => x=0 o x=4 buscando máximo o mínimo en %IMAGE_13%:
%IMAGE_14% = 4 - 2x = 0 => x=2 => y(2) = 4(2) - %IMAGE_15% = 8 - 4 = 4
cm %IMAGE_16% s 1a parábola y a = -1 x 4y2-+-
puntos de intersección %IMAGE_17% = %IMAGE_18%
%IMAGE_19%-2x = 4x - %IMAGE_20%
2 %IMAGE_21% - 6x = 0
2x(x - 3) = 0
x=0 o x=3

donde la gráfica es la siguiente:
%IMAGE_22%
el área de la zona sombreada es:
a= %IMAGE_23% =

b) %IMAGE_24% = 2ax; x = a
desplazamos y = %IMAGE_25%
tiene 1 cruce en el origen y dado que es la función inversa de 1a parábola con centro en el origen su gráfico es el siguiente:
%IMAGE_26%
a = %IMAGE_27%
%IMAGE_28% = %IMAGE_29%= = %IMAGE_30%(%IMAGE_31% - 0)
a = %IMAGE_32% = %IMAGE_33% · %IMAGE_34% = %IMAGE_35%

c) %IMAGE_36%y = 12-3 %IMAGE_37%; %IMAGE_38% = 0
los cruces de la parábola son:
12-3 %IMAGE_39% = 0 => 3 encontramos el vértice de la parábola:
%IMAGE_40% = -6x = 0 => x=0 => y(0) = 12
dado que a = -3 x 2y-+-
la gráfica es la siguiente:
%IMAGE_41%
a=%IMAGE_42%
a = 12 %IMAGE_43% - 3 %IMAGE_44%
a = 12 %IMAGE_45% %IMAGE_46% = 12(2 + 2) - (%IMAGE_47% - %IMAGE_48%) = 12 · 4 - (8 + 8) = 48 - 16 = 32

d) %IMAGE_49% = %IMAGE_50%; %IMAGE_51% = %IMAGE_52% + 1
cruces %IMAGE_53%:
%IMAGE_54% =0 ? %IMAGE_55% = 0 ? x = 0 o x = -1
debido a que es 1 polinomio cúbico, a = 1 > 0 y posee 2 cruces, presenta la siguiente distribución de signo:
x 0y1-++
buscando máximos y/o mínimos:
%IMAGE_56% = %IMAGE_57% = 0
x(3x+2) = 0 => x=0 => y(0) = 0
x=%IMAGE_58% => y (%IMAGE_59%) = %IMAGE_60%
cruces de %IMAGE_61%:
%IMAGE_62%+ 1 = 0 x= -1
debido a que es 1 polinomio cúbico, a = 1 > 0 y posee 2 cruces, presenta la siguiente distribución de signo:
x -1y2-+
buscando máximos y/o mínimos:
%IMAGE_63% = 3 %IMAGE_64% = 0 =>x = 0 => %IMAGE_65%(0) = 1
puntos de intersección %IMAGE_66% = %IMAGE_67%:
%IMAGE_68% = %IMAGE_69% + 1
x = ±1

donde la gráfica es la siguiente:
%IMAGE_70%
a = %IMAGE_71% = %IMAGE_72%
a = %IMAGE_73% + %IMAGE_74% + %IMAGE_75%
a = (1 + 1)%IMAGE_76%(%IMAGE_77%)(%IMAGE_78%) = 2 %IMAGE_79%(1 + 1) = 2 %IMAGE_80% %IMAGE_81% = %IMAGE_82% = %IMAGE_83%

e) %IMAGE_84% = x(x + 1)(x %IMAGE_85%) ; %IMAGE_86% = x
cruces de %IMAGE_87% :
x (%IMAGE_88% debido a que es 1 polinomio cúbico, a = 1 > 0 y posee 3 cruces, presenta la siguiente distribución de signos:
x 1y1-+-+

buscando máximos y/o mínimos:
%IMAGE_89% = %IMAGE_90% = 0 => x = ±%IMAGE_91% = ±
y(%IMAGE_93%) = %IMAGE_94%(%IMAGE_95%) = %IMAGE_96%(%IMAGE_97%) = %IMAGE_98%(%IMAGE_99%1) = %IMAGE_100%(%IMAGE_101%) = %IMAGE_102%
y(-%IMAGE_103%) = - %IMAGE_104%((- %IMAGE_105%) = - %IMAGE_106%(%IMAGE_107%) =- %IMAGE_108%(%IMAGE_109%1) = - %IMAGE_110%(%IMAGE_111%) = %IMAGE_112%
%IMAGE_113% tiene 1 cruce en x = 0, ni máximos y/o mínimos, tiene pendiente positiva pues a = 1 a > 0.
los puntos de intersección son:
%IMAGE_114% = %IMAGE_115% ? x = %IMAGE_116% ? 2x = %IMAGE_117% ? 2 = %IMAGE_118% ? x = ±%IMAGE_119%
la gráfica es la siguiente:
%IMAGE_120%
a = %IMAGE_121% + %IMAGE_122%
a = %IMAGE_123% + %IMAGE_124%
%IMAGE_125% = %IMAGE_126% %IMAGE_127%2 = %IMAGE_128% %IMAGE_129% %IMAGE_130%
%IMAGE_131% = %IMAGE_133% %IMAGE_134%2 = %IMAGE_135% %IMAGE_136%
a=%IMAGE_138% + %IMAGE_139%
a = %IMAGE_142% = %IMAGE_143% = 4
f) %IMAGE_144% = %IMAGE_145%; %IMAGE_146% = %IMAGE_147%
cruces de %IMAGE_148% :
%IMAGE_149%
debido a que es 1 polinomio de grado 2 con a = -1 x 6y1-+-
buscando el vértice:
%IMAGE_150% = %IMAGE_151% = 0 => %IMAGE_152%= %IMAGE_153%
cruces de %IMAGE_154%:
%IMAGE_155%
debido a que es 1 polinomio de grado 2 con a = 1 > 0, la parábola abre hacia arriba según la siguiente tabla:
x 2y2+-+
buscando el vértice:
%IMAGE_156% = %IMAGE_157% = 0 => %IMAGE_158%= %IMAGE_159%
puntos de intersección %IMAGE_160% = %IMAGE_161%:
%IMAGE_162% = %IMAGE_163% ? %IMAGE_164% = 0 ? %IMAGE_165%
evaluando:
%IMAGE_166%
%IMAGE_167%
donde la gráfica es la siguiente:
%IMAGE_168%
a = %IMAGE_169% = %IMAGE_170% = %IMAGE_171%
a = 8 %IMAGE_172% = %IMAGE_173% %IMAGE_174% %IMAGE_175%
a = %IMAGE_176%

g) %IMAGE_177% = %IMAGE_178%; %IMAGE_179% = %IMAGE_180%
cruces %IMAGE_181%:
%IMAGE_182% = %IMAGE_183%
debido a que es 1 polinomio de grado 2 con a = 1 > 0, la parábola abre hacia arriba según la siguiente tabla:
x 0y1++
vértices:
%IMAGE_184% = %IMAGE_185% = 0 => %IMAGE_186% 0

cruces %IMAGE_187%:
%IMAGE_188%
debido a que es 1 polinomio de grado 1 con a = -1 x 6y2+-
máximos o mínimos:
%IMAGE_189% = %IMAGE_190% %IMAGE_191% 0 no tiene máximo ni mínimo
puntos de intersección %IMAGE_192% = %IMAGE_193%:
%IMAGE_194% = %IMAGE_195% %IMAGE_196%
%IMAGE_197%
evaluando:
%IMAGE_198%
%IMAGE_199%
x tanto la gráfica es la siguiente:
%IMAGE_200%

a=%IMAGE_201% = %IMAGE_202% = 6 %IMAGE_203%
a=%IMAGE_204% %IMAGE_205% %IMAGE_206% %IMAGE_207% = %IMAGE_208%

) %IMAGE_210% = %IMAGE_211%; %IMAGE_212% = %IMAGE_213%; %IMAGE_214% = %IMAGE_215%
cruces %IMAGE_216%:
%IMAGE_217% = %IMAGE_218%
máximos y/o mínimos:
%IMAGE_219% = %IMAGE_220% no tiene máximo ni mínimo.
cruces %IMAGE_221%:
%IMAGE_222% = %IMAGE_223%
máximos y/o mínimos:
%IMAGE_224% = %IMAGE_225% %IMAGE_226% 0 no tiene máximo ni mínimo
cruces %IMAGE_227%:
%IMAGE_228%
debido a que es 1 polinomio de grado 2 con a = 1 > 0, la parábola abre hacia arriba según la siguiente tabla:
x 1y3++
vértice:
%IMAGE_229%

puntos de intersección:
%IMAGE_230% = %IMAGE_231%
%IMAGE_232% = %IMAGE_233%
%IMAGE_234% o %IMAGE_235%
%IMAGE_236% = %IMAGE_237%
%IMAGE_238% = %IMAGE_239%
%IMAGE_240% %IMAGE_241%
%IMAGE_242%
%IMAGE_243% = %IMAGE_244%
%IMAGE_245% = %IMAGE_246%
x, por lo tanto la gráfica es la siguiente:
%IMAGE_247%

a=%IMAGE_248%
a=%IMAGE_249%
a=%IMAGE_250%
a=%IMAGE_251%
a = %IMAGE_252%
a = %IMAGE_253%

i) %IMAGE_254% = %IMAGE_255%; %IMAGE_256% = %IMAGE_257%; x = 0; x = 3
cruces %IMAGE_258%:
%IMAGE_259%
debido a que es 1 polinomio de grado 2 con a = -1 x 3y1-+-
vértices:
%IMAGE_260%
cruces %IMAGE_261%:
%IMAGE_262%
debido a que es 1 polinomio de grado 3 con a = -1 x 1y2++-
máximos y/o mínimos:
%IMAGE_263%
evaluando:
%IMAGE_264%
%IMAGE_265%
puntos de intersección %IMAGE_266% = %IMAGE_267%:
= %IMAGE_268%
%IMAGE_269%
%IMAGE_270%
%IMAGE_271%
%IMAGE_272%
%IMAGE_273%
%IMAGE_274%
x, por lo tanto la gráfica es la siguiente:
%IMAGE_276%
a=%IMAGE_277%
a=%IMAGE_278%
a=%IMAGE_279%
a=%IMAGE_280% = %IMAGE_281%

j) %IMAGE_282% = %IMAGE_283%; %IMAGE_284% = %IMAGE_285%
cruces %IMAGE_286% :
%IMAGE_287% %IMAGE_288%
%IMAGE_289% debido a que es 1 polinomio de grado 3 con a = 1 > 0, los signos se muestran según la siguiente tabla:
x 4y1-+-+
máximos y/o mínimos:
%IMAGE_290%
%IMAGE_291%
%IMAGE_292%
cruces %IMAGE_293%:
%IMAGE_294%
debido a que es 1 polinomio de grado 2 con a = 1 > 0, los signos se muestran según la siguiente tabla:
x 4y2+-+
vértices:
%IMAGE_295% %IMAGE_296%
puntos de intersección %IMAGE_297%:
%IMAGE_298%
%IMAGE_299% %IMAGE_300%
%IMAGE_301%
%IMAGE_302%
%IMAGE_303%
%IMAGE_304%
gráfica:
%IMAGE_305%

%IMAGE_306% = %IMAGE_307%
%IMAGE_308% = %IMAGE_309%
%IMAGE_310%
%IMAGE_311%
%IMAGE_312% = %IMAGE_313% = 11.25
%IMAGE_314% = %IMAGE_315%
%IMAGE_316% = %IMAGE_317%
%IMAGE_318% = %IMAGE_319%
%IMAGE_320% = %IMAGE_321% = 11.83
k) %IMAGE_322% = %IMAGE_323%; %IMAGE_324% = 2 %IMAGE_325%
cruces %IMAGE_326%:
%IMAGE_327%
debido a que es 1 polinomio de grado 4 con a = 1 > 0, este polinomio abre hacia arriba, los signos se muestran según la siguiente tabla:
x %IMAGE_328% x > %IMAGE_329%y1+--+
máximos y/o mínimos:
%IMAGE_330%
%IMAGE_331%
%IMAGE_332%
%IMAGE_333%
cruces %IMAGE_334%:
%IMAGE_335%
debido a que es 1 polinomio de grado 2 con a = 2 > 0, la parábola abre hacia arriba, los signos se muestran según la siguiente tabla:
x 0y2++vértice:
%IMAGE_336%
%IMAGE_337%
puntos de intersección %IMAGE_338% :
%IMAGE_339%
%IMAGE_340%
%IMAGE_341%
%IMAGE_342%
%IMAGE_343%
donde la gráfica es la siguiente:
%IMAGE_344%
a %IMAGE_345%
a %IMAGE_346%= %IMAGE_347%
a=%IMAGE_348% = %IMAGE_349% %IMAGE_350%