Estudio de Funciones Mediante Derivadas: Monotonía, Curvatura, Extremos y Asíntotas

Estudio de una Función a partir de su Derivada

Se conoce la función derivada de f: f'(x) = 3x² - 8x + 5.

a) Monotonía y Extremos Relativos

Estudiamos el signo de la primera derivada f'(x) para determinar la monotonía (intervalos de crecimiento y decrecimiento).

Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos (posibles extremos relativos):

f'(x) = 0 ⇒ 3x² - 8x + 5 = 0

Resolviendo la ecuación cuadrática, obtenemos: x = 1 y x = 5/3 ≈ 1.67.

Estos valores dividen la recta real en tres intervalos:

• Intervalo (-∞, 1): Elegimos un punto de prueba, por ejemplo, x = 0. f'(0) = 3(0)² - 8(0) + 5 = 5 > 0. Por lo tanto, f(x) es estrictamente creciente en (-∞, 1).
• Intervalo (1, 5/3): Elegimos un punto de prueba, por ejemplo, x = 1.1. f'(1.1) = 3(1.1)² - 8(1.1) + 5 = 3(1.21) - 8.8 + 5 = 3.63 - 8.8 + 5 = -0.17 < 0. Por lo tanto, f(x) es estrictamente decreciente en (1, 5/3).
• Intervalo (5/3, +∞): Elegimos un punto de prueba, por ejemplo, x = 2. f'(2) = 3(2)² - 8(2) + 5 = 3(4) - 16 + 5 = 12 - 16 + 5 = 1 > 0. Por lo tanto, f(x) es estrictamente creciente en (5/3, +∞).

Conclusión sobre los extremos relativos:

• En x = 1, la función pasa de creciente a decreciente, por lo que hay un máximo relativo de f.
• En x = 5/3, la función pasa de decreciente a creciente, por lo que hay un mínimo relativo de f.

b) Curvatura y Puntos de Inflexión

Estudiamos el signo de la segunda derivada f''(x) para determinar la curvatura (intervalos de concavidad y convexidad).

Calculamos la segunda derivada:

f'(x) = 3x² - 8x + 5

f''(x) = 6x - 8

Igualamos la segunda derivada a cero para encontrar los posibles puntos de inflexión:

f''(x) = 0 ⇒ 6x - 8 = 0

Resolviendo la ecuación, obtenemos: x = 8/6 = 4/3 ≈ 1.33.

Este valor divide la recta real en dos intervalos:

• Intervalo (-∞, 4/3): Elegimos un punto de prueba, por ejemplo, x = 0. f''(0) = 6(0) - 8 = -8 < 0. Por lo tanto, f(x) es cóncava (hacia abajo, ∩) en (-∞, 4/3).
• Intervalo (4/3, +∞): Elegimos un punto de prueba, por ejemplo, x = 2. f''(2) = 6(2) - 8 = 12 - 8 = 4 > 0. Por lo tanto, f(x) es convexa (hacia arriba, ∪) en (4/3, +∞).

Conclusión sobre el punto de inflexión:

• En x = 4/3, la función cambia de cóncava a convexa, por lo que hay un punto de inflexión de f.

c) Ecuación de la Recta Tangente

Sabiendo que la gráfica de f pasa por el punto (1, 1), se pide calcular la ecuación de la recta tangente en dicho punto.

Nos han dado f'(x) = 3x² - 8x + 5, con lo cual f'(1) = 3(1)² - 8(1) + 5 = 0.

Además, como la gráfica pasa por (1, 1), tenemos f(1) = 1.

La ecuación de la recta tangente pedida es de la forma: y - f(1) = f'(1) * (x - 1).

Sustituyendo los valores:

y - 1 = 0 * (x - 1)

y - 1 = 0

La ecuación de la recta tangente pedida es y = 1.

Determinación de Parámetros y Estudio de Otra Función

a) Determinación de Parámetros de f(x) = ax / (x+b)

Para la función f definida de la forma f(x) = ax / (x+b), determine, razonadamente, los valores de a y b.

Asíntota Vertical

Sabemos que en los cocientes de polinomios las asíntotas verticales suelen ser los números que anulan el denominador, en nuestro caso x = -b, siempre que verifiquen que lím_x→-b f(x) = ±∞.

En nuestro caso: lím_x→-b f(x) = lím_x→-b (ax / (x+b)) = (-a*b) / 0.

Si a ≠ 0 y b ≠ 0, este límite es ±∞, luego x = -b es una asíntota vertical.

También sabemos que la asíntota vertical es x = -2, luego -b = -2, de donde b = 2.

Asíntota Horizontal

Sabemos que los cocientes de polinomios de igual grado tienen una asíntota horizontal y = L, donde L = lím_x→±∞ f(x).

Calculamos el límite:

L = lím_x→±∞ f(x) = lím_x→±∞ (ax / (x+b)) = lím_x→±∞ (ax / x) = lím_x→±∞ (a) = a.

La asíntota horizontal es y = a.

También sabemos que la asíntota horizontal es y = 3, luego a = 3.

Por lo tanto, los valores son a = 3 y b = 2.

b) Monotonía y Extremos Relativos de g(x) = x³ - 3x² + 2

Se pide estudiar la monotonía de la función g(x) = x³ – 3x² + 2.

Como g(x) es un polinomio, es continua y derivable en ℝ.

Calculamos la primera derivada:

g'(x) = 3x² – 6x.

Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos (posibles extremos relativos de g):

g'(x) = 0 ⇒ 3x² – 6x = 0 ⇒ 3x(x – 2) = 0.

Las soluciones son x = 0 y x = 2.

Estos valores dividen la recta real en tres intervalos:

• Intervalo (-∞, 0): Elegimos un punto de prueba, por ejemplo, x = -1. g'(-1) = 3(-1)² – 6(-1) = 3 + 6 = 9 > 0. Por lo tanto, g(x) es estrictamente creciente en (-∞, 0).
• Intervalo (0, 2): Elegimos un punto de prueba, por ejemplo, x = 1. g'(1) = 3(1)² – 6(1) = 3 - 6 = -3 < 0. Por lo tanto, g(x) es estrictamente decreciente en (0, 2).
• Intervalo (2, +∞): Elegimos un punto de prueba, por ejemplo, x = 3. g'(3) = 3(3)² – 6(3) = 27 - 18 = 9 > 0. Por lo tanto, g(x) es estrictamente creciente en (2, +∞).

Conclusión sobre los extremos relativos:

• Por definición, en x = 0 hay un máximo relativo y vale g(0) = (0)³ – 3(0)² + 2 = 2.
• Por definición, en x = 2 hay un mínimo relativo y vale g(2) = (2)³ – 3(2)² + 2 = 8 - 12 + 2 = -2.