Estudio de Simetría y Clasificación de Funciones Matemáticas

I. Determinación de la Simetría de Funciones

Para determinar la simetría de una función $f(x)$, se sigue el siguiente procedimiento al evaluar $f(-x)$:

A) Ejemplo de Simetría respecto al Eje Y (Función Par)

Para la función: $y = x^2 - 1$

1. Se cambia $x$ por $-x$: $f(-x) = (-x)^2 - 1$.
2. Se opera: $f(-x) = x^2 - 1$.
3. Se compara con la función original: $f(-x) = f(x)$.

Conclusión: La función es simétrica con respecto al eje Y (función par).

B) Ejemplo de Simetría respecto al Origen (Función Impar)

Para la función: $y = x^3 + x$

• Se evalúa $f(-x)$: $y(-x) = (-x)^3 + (-x) = -x^3 - x$.
• Se factoriza: $y(-x) = -(x^3 + x)$.

Conclusión: La función es simétrica respecto al origen (función impar), lo cual se afirma cuando la función resultante es exactamente opuesta a la original, es decir, $f(-x) = -f(x)$.

C) Función sin Simetría Específica

Para la función: $y = \frac{x+1}{x-2}$

• Se evalúa $f(-x)$: $y(-x) = \frac{-x+1}{-x-2}$.

Conclusión: La función no es simétrica respecto al eje Y ni respecto al origen, ya que $f(-x) \neq f(x)$ y $f(-x) \neq -f(x)$.

Resumen de Simetría:

• Si $f(-x) = f(x)$: Simétrica respecto al eje Y (Par).
• Si $f(-x) = -f(x)$: Simétrica respecto al origen (Impar).
• Si no cumple ninguna de las anteriores: No tiene simetría respecto a estos ejes.

II. Familias Principales de Funciones

A) Funciones Lineales y Afines

• Funciones Afines: Aquellas cuya expresión analítica es de la forma $f(x) = mx + n$, donde $m$ es la pendiente y $n$ es la ordenada en el origen. Su representación gráfica es una recta.
• Funciones Lineales o de Proporcionalidad Directa: Son un caso particular de las afines donde $n=0$, es decir, $f(x) = mx$.

B) Funciones Definidas a Trozos (o por Intervalos)

Son aquellas cuya expresión analítica depende del valor que toma la variable independiente $x$.

Ejemplo: Una tarifa que cobra 1€ si se consumen más de 20 unidades, y otra tarifa si se consumen menos.

C) Funciones Cuadráticas

Son funciones cuya expresión analítica es un polinomio de grado 2: $f(x) = ax^2 + bx + c$ (Nota: se corrigió el término $2bx$ a $bx$ para la forma estándar).

• Su expresión gráfica es una parábola.
• El punto donde la parábola cambia su sentido de crecimiento (mínimo o máximo) se denomina vértice, y se encuentra en $x = -b/(2a)$.
• Para representarla, se recomienda usar una tabla de 5 valores que incluya el vértice y dos valores a cada lado.

III. Otras Clasificaciones Importantes

D) Función Polinómica

Son funciones cuya expresión analítica es un polinomio. Incluyen:

• Grado 1: Funciones afines o lineales.
• Grado 2: Funciones cuadráticas (parábolas).
• Grado 3: Funciones cúbicas.

E) Funciones Racionales

Son funciones cuya expresión analítica es un cociente de polinomios: $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$.

• Sus representaciones gráficas pueden ser ramas de parábolas o hipérbolas.
• Un caso especial es la forma $y = \frac{k}{x}$, denominadas funciones de proporcionalidad inversa.
• La gráfica de estas funciones suele presentar una asíntota, que es una recta a la que la función se aproxima indefinidamente sin llegar a tocarla.

IV. Dominio de una Función

El dominio de una función, $D(f)$, son todos los valores de $x$ para los cuales existe $f(x)$. Depende de la expresión analítica:

1. Función Polinómica: El dominio son todos los números reales: $D(f) = \mathbb{R}$.
2. Función Racional: El dominio son todos los números reales excepto aquellos valores que anulan el denominador: $D(f) = \mathbb{R} - \{\text{valores que hacen } Q(x)=0\}$.
3. Función Irracional (con raíz cuadrada): El dominio se restringe a los valores de $x$ para los cuales el radicando (lo que está dentro de la raíz) es mayor o igual a cero: $D(f) = \{x \in \mathbb{R} \mid \text{radicando} \geq 0\}$.