Exploración de los Poliedros Regulares Convexos y la Percepción del Espacio

Los Cinco Poliedros Regulares Convexos

Solo existen cinco poliedros regulares convexos. A continuación, se detallan sus elementos y el teorema fundamental que los describe.

Teorema de los Poliedros Regulares

No puede haber más que cinco poliedros regulares convexos. En concreto, estos son:

• Tres formados a partir de triángulos equiláteros: Tetraedro, Octaedro e Icosaedro.
• Uno formado a partir de cuadrados: Hexaedro (o Cubo).
• Uno formado a partir de pentágonos regulares: Dodecaedro.

La Fórmula de Euler para Poliedros

La fórmula V - A + C = 2 (donde V = Vértices, A = Aristas, C = Caras), que se cumple en los poliedros regulares, también se aplica a cualquier poliedro cerrado convexo, aunque no sea regular. Se conoce como la fórmula de Euler.

Demostración Intuitiva de la Fórmula de Euler

¿Puedes pensar en una demostración de esta fórmula para todos los poliedros cerrados? La idea es sencilla:

1. Primero, se demuestra que el poliedro se puede convertir en uno en que todas sus caras son triángulos. Esto se logra agregando aristas a las caras. Agregar una arista a una cara añade también una nueva cara, con lo cual la suma V - A + C no se altera.
2. Quitamos ahora una de las caras. La suma V - A + C disminuye en uno, pues no se quita ningún vértice ni ninguna arista.
3. Ahora seguimos quitando caras (que son triángulos) de la orilla, es decir, que tengan alguna arista libre.
4. Si quitas un triángulo que tiene una sola arista libre, entonces quitas sólo una arista y una cara, con lo cual la suma V - A + C no se altera.
5. Si quitamos un triángulo que tiene dos aristas libres, entonces desaparecen al mismo tiempo un vértice, dos aristas y una cara, con lo cual la suma V - A + C tampoco se altera (ΔV=-1, ΔA=-2, ΔC=-1 => -1 - (-2) + (-1) = 0).
6. Continuamos de esta manera hasta que queda un solo triángulo. Este es el único caso que tiene tres aristas libres y, en este caso, es obvio que V=3, A=3, C=1, por lo que V - A + C = 3 - 3 + 1 = 1.
7. Así que, si sumamos la cara que quitamos al comenzar (que disminuyó la suma en 1), nos queda que V - A + C = 1 + 1 = 2, que es lo que queríamos demostrar.

Niveles de Percepción Espacial

El espacio puede clasificarse según la interacción y percepción del sujeto:

Microespacio

Corresponde a un sector del espacio próximo al sujeto y que contiene objetos accesibles tanto a la visión como a la manipulación. En este sector, el sujeto puede mover el objeto o bien moverse a sí mismo prácticamente en cualquier dirección. El sujeto controla plenamente sus relaciones espaciales con el objeto debido a la abundancia de recursos de transformación con que cuenta. El trabajo escolar impone cierta reestructuración del microespacio al introducir dos direcciones ortogonales para orientar el papel (y otros materiales) sobre el pupitre.

Mesoespacio

Es una parte del espacio accesible a una visión global, obtenida a partir de percepciones sucesivas, pero con desfases temporales mínimos. Contiene objetos fijos, no manipulables. Como ejemplo de mesoespacio, podemos citar el espacio que contiene un edificio, que puede ser recorrido por el sujeto tanto interior como exteriormente.

En este sector del espacio, puesto que los objetos permanecen fijos, funcionan como puntos de referencia para el sujeto (en nuestro ejemplo: los muebles, puertas, paredes), mientras que el sujeto sí puede desplazarse, pero con restricciones derivadas de dos condiciones:

• La disposición física de los objetos (paredes, obstáculos).
• Las reglas sociales o funcionales del lugar.

Macroespacio

Corresponde a un sector del espacio cuya dimensión es tal que sólo puede abarcarse a través de una sucesión de visiones locales, separadas entre sí por desplazamientos del sujeto sobre la superficie terrestre. En el macroespacio es imposible obtener una visión global simultánea del sector con el que se interactúa, a menos que el sujeto se eleve en el aire, experiencia a la que raras veces se recurre para estructurar el espacio terrestre a nivel de experiencia cotidiana. Al igual que en el mesoespacio, en el macroespacio los objetos permanecen fijos; es el sujeto el que se desplaza.