Explorando Conceptos Fundamentales de Números y Conjuntos

Relación de Coordinabilidad

Dados dos conjuntos A y B, decimos que son coordinables si entre ellos se puede establecer una aplicación biyectiva, lo que ocurre cuando poseen la misma cantidad de elementos.

Se expresa poniendo A ~ B.

La relación de coordinabilidad es una relación de equivalencia porque cumple las tres propiedades fundamentales: Reflexiva, Simétrica y Transitiva.

Formalización de los Números Naturales (N) a través de Clases de Equivalencia

En este caso, la formalización de los números naturales se basa en la idea de que dos conjuntos de objetos que tienen el mismo cardinal son equivalentes. Todos los conjuntos equivalentes forman una única clase de conjuntos, tales como: conjuntos vacíos, conjuntos con 1, 2, 3, ... elementos.

Dado que el conjunto de estas clases se encuentra naturalmente ordenado, esto proporciona una posible definición para los números naturales (N).

Definición Conjuntista de la Multiplicación

En la definición conjuntista, la multiplicación corresponde a la idea de repetición, ya que al formar un producto cartesiano, cada elemento del primer conjunto se asocia con cada elemento del segundo. Esta definición es particularmente útil para abordar problemas de combinación.

Dados dos números naturales a y b, se define la multiplicación a x b como el cardinal del conjunto producto cartesiano A x B, siendo A y B dos conjuntos cuyo cardinal es a y b, respectivamente.

Card(A x B) = Card(A) x Card(B)

Definición Recursiva de la Multiplicación (Axiomas de Peano)

Esta definición de la multiplicación se alinea con uno de los aspectos fundamentales del aprendizaje de la adición en la infancia: la idea de "repetir varias veces un mismo sumando".

Axiomas de Peano para la Multiplicación:

• p x 1 = p, para todo número natural p.

• p x sig(n) = (p x n) + p, para todo n diferente de cero (donde sig(n) es el sucesor de n).

Ejemplificación de la Definición Recursiva:

En consecuencia, procedemos como sigue para comprender su aplicación:

• Dado que 2 es el sucesor de 1, tenemos:

  p x 2 = p x sig(1) = (p x 1) + p = p + p.

  Esto significa que se suma el número p dos veces.

• Para multiplicar un número por 3, dado que 3 es el sucesor de 2:

  p x 3 = p x sig(2) = (p x 2) + p = (p + p) + p = p + p + p.

  Es decir, se suma el número p tres veces.

• De esta manera, se comprueba cómo esta definición permite encontrar el producto de dos números cualesquiera. Por ejemplo:

  4 x 3 = 4 x sig(2) = (4 x 2) + 4 = (4 x sig(1)) + 4 = ((4 x 1) + 4) + 4 = (4 + 4) + 4 = 4 + 4 + 4.

  En otras palabras, 4 x 3 es el número que se obtiene al repetir el 4 tres veces.