Explorando el Valor, Factorización y Divisibilidad de Polinomios

Valor de un Polinomio

El valor numérico de un polinomio, P(x), para x = a, es el número que se obtiene al sustituir la x por a y efectuar las operaciones indicadas. A ese número se le llama P(a).

Teorema del Resto

El valor que toma un polinomio, P(x), cuando hacemos x = a, coincide con el resto de la división P(x) : (x - a). Es decir, P(a) = r

Factorización de Polinomios

Procedimiento para Factorizar un Polinomio

Factorizar un polinomio es descomponerlo en producto de polinomios (factores) del menor grado posible.

Método para factorizar un polinomio:

• Sacar factor común
• Recordar los productos notables
• Si es un polinomio de grado > 2: Por Ruffini, probando con los divisores del término independiente, hasta obtener resto cero: P(x) = (x - a) · C(x)
• No tiene solución: ax² + bx + c
• 1 solución doble: a(x - x₀)²
• 2 soluciones distintas: a(x - x₁)(x - x₂)

Raíces de un Polinomio

Un número a se llama raíz de un polinomio P(x), si P(a) = 0. Las raíces de un polinomio son las soluciones de la ecuación P(x) = 0.

Método para calcular las raíces de un polinomio:

1. Se factoriza el polinomio
2. Se iguala cada uno de los factores a cero.

Divisibilidad de Polinomios

Múltiplos y Divisores

Un polinomio, D(x), es divisor de otro, P(x), si la división P(x) : D(x) es exacta. En tal caso, se dice también que P(x) es múltiplo de D(x), ya que P(x) = D(x) · C(x)

Polinomios Irreducibles

Un polinomio se llama irreducible cuando no tiene ningún divisor de grado inferior al suyo.

Máximo Común Divisor (MCD) y Mínimo Común Múltiplo (MCM) de dos Polinomios

Un polinomio, D(x), es el máximo común divisor de dos polinomios, P(x) y Q(x), si es divisor de ambos y no hay otro polinomio divisor común con mayor grado que él. Se denota: D(x) = MCD[P(x), Q(x)]

Método para calcularlo:

Un polinomio, M(x), es el mínimo común múltiplo de dos polinomios, P(x) y Q(x), si es múltiplo de ambos y no hay otro polinomio múltiplo común con menor grado que él. Se denota: M(x) = mcm[P(x), Q(x)]

Método para calcularlo:

1. Se factorizan los dos polinomios: P(x) y Q(x)
2. Se toman los factores comunes y no comunes al mayor exponente