Explorando Funciones Matemáticas: Lineales, Cuadráticas y Más

Funciones Lineales

Las funciones lineales son funciones polinómicas de grado 1. Su gráfica es una línea recta y son del tipo f(x) = ax + b, donde a es la pendiente y b es la ordenada al origen.

• Si a > 0, la función es creciente.
• Si a < 0, la función es decreciente.
• Si a = 0, la función es constante.

• Dominio: ℝ
• Recorrido: ℝ
• Continuidad: Continua en su dominio

• Si es de tipo y = ax, es una función lineal.
• Si es de tipo ax + b, es una función afín.
• Si es de tipo y = k, la función es constante.

Cálculo de la Pendiente

Dados dos puntos A(x₁, y₁) y B(x₂, y₂), la pendiente a se calcula como:

a = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)

Funciones Cuadráticas

Las funciones cuadráticas son funciones polinómicas de grado 2, representadas por f(x) = ax² + bx + c. Su gráfica es una parábola.

• Dominio: ℝ
• Continuidad: Continua en todo su dominio

• Si a > 0, la parábola es cóncava (∪).
• Si a < 0, la parábola es convexa (∩).
• a siempre debe ser distinto de 0.

Vértice

El vértice de la parábola se encuentra en X = -b / 2a.

Puntos de Corte

• Corte con el eje OX: y = 0, entonces ax² + bx + c = 0.
• Corte con el eje OY: x = 0, entonces y = a(0)² + b(0) + c = c.

Tabla de Valores

Representación Gráfica

Función de Proporcionalidad Inversa

Son funciones del tipo f(x) = K / X, donde K es un número real. Su representación gráfica es una hipérbola.

• Si K > 0, se dibuja en los cuadrantes 1 y 3.
• Si K < 0, se dibuja en los cuadrantes 2 y 4.

• Dominio: ℝ - {0}
• Recorrido: ℝ - {0}
• Continuidad: Discontinua en x = 0
• Si K > 0, decreciente; si K < 0, creciente.
• No tiene máximos ni mínimos.
• No tiene puntos de corte (a menos que haya desplazamiento).

Desplazamiento

• f(x) = k / (x + a): Desplazamiento de "a" unidades en el eje x hacia la izquierda.
• f(x) = k / (x - a): Desplazamiento de "a" unidades en el eje x hacia la derecha.
• f(x) = 2/x + 4: Desplazamiento hacia arriba 4 unidades.

Funciones Exponenciales

Su expresión es del tipo a^x.

• Si a > 1, la función es creciente.
• Si a < 1, la función es decreciente.

Ejemplo: f(x) = 3^x, función exponencial, a = 3 > 0, crece.

Exponenciales con Desplazamiento

• f(x) = 2^x+1: Desplazamiento 1 unidad hacia la izquierda.
• f(x) = 3^x-2: Desplazamiento 2 unidades hacia la derecha.
• f(x) = 2^x + 1: Desplazamiento 1 unidad hacia arriba.
• f(x) = 2^x - 1: Desplazamiento 1 unidad hacia abajo.

Funciones Logarítmicas

Es la inversa a la exponencial. Son del tipo f(x) = log_a(x).

a > 0 y a ≠ 1

Ejemplo: log₃(x), base = 3 > 1, creciente.

Funciones Definidas a Trozos

Para analizar estas funciones, es importante determinar:

• Dominio
• Recorrido
• Puntos de corte
• Continuidad
• Discontinuidad
• Crecimiento
• Decrecimiento
• Concavidad
• Convexidad