Explorando la Multiplicación y División en Números Naturales: Conceptos y Aplicaciones

Multiplicación

La **suma reiterada** es uno de los significados de la multiplicación. Es un significado “económico”, en vez de calcular 3+3+3+3, se calcula 4x3 y se lee “cuatro veces tres”. Generalizando: Sean *a* y *b* números naturales, el producto de *a* x *b* se define como: *a* x *b*, ∀ *a*, *b* ∈N = *b* + *b* + … + *b* (*a* veces), sii *a*≠0. En el caso de que *a*=0, tendremos 0 x *b* = 0. Símbología: *a*.*b*; *a*x*b*; *a* * *b*; *ab*. El número que se repite (*b*) es el **multiplicando** y las veces que se repite es el **multiplicador** (*a*). Se puede definir también su significado cardinal como **producto cartesiano** de conjuntos (sin acudir a la adición para definirla) f: N x N → N.

Las propiedades de la multiplicación pueden resumirse en:

• La multiplicación es **cerrada** o está definida en N. Para toda pareja de números naturales *a*, *b* se verifica: *a* x *b* = *p*, *p* ∈N.
• Es **conmutativa**, *a* x *b* = *b* x *a*
• Es **asociativa**, *a* x (*b* x *c*) = (*a* x *b*) x *c*.
• Es **distributiva**, *a* x (*b* + *c*) = *a* x *b* + *a* x *c*.
• **Elemento unidad**, el 1 es natural y sii *a* ∈N; 1 x *a* = *a* x 1 = *a*

División

Definición conjuntivista: Dados *n* y *d* ∈ N, dividir *n* por *d* es repartir un conjunto de *n* elementos en tantos subconjuntos de *d* elementos como sea posible. El número de subconjuntos formados es el **cociente** y los elementos que quedan es el **resto**.

**PROPIEDAD**: Si se multiplica el dividendo y el divisor de una división por un mismo número *n*, no se modifica el cociente de la división, pero cambia el resto, que queda también multiplicado por *n*.

Situaciones Multiplicativas Concretas

El profesor debe controlar que el alumno entiende el enunciado, que lo explique con sus propias palabras y que encuentre una estrategia de resolución. Se puede animar al niño a representar los datos. Las variables didácticas son:

• Tamaño de los términos y resultado de la operación (0-50, 50-100, …)
• Estructura lógica de la situación (dificultad del problema)
• Posición de la incógnita
• Sentido de la comparación
• Grado de contextualización de la situación
• Tipo de material utilizado
• Número de datos

Situaciones Formales. Aprendizaje de Algoritmos

Las variables didácticas son:

• Tipo de operación
• Dirección de la operación
• Tamaño de los términos y del resultado de la operación
• Existencia de llevadas
• Técnica de cálculo: Uso de material estructurado; técnica oral, técnica escrita, calculadora…
• Tipo de material: Regletas Cuisinaire, ábaco, bloques multibase, representaciones…

Divisibilidad en N

Dados dos números naturales *a* y *b*, se dice que:

“*b*” divide a “*a*”, “*a*” es divisible por “*b*”, “*b*” es un divisor de “*a*”, “*a*” es múltiplo de “*b*”

Esta relación se suele expresar así *b* | *a* y se lee “*b* divide al número *a*”.

Propiedades:

• El 1 divide a todos los números naturales.
• Todo número natural que divide a varios números, también divide a su suma.
• Todo número natural que divide a varios números, también divide a su diferencia.
• Todo número natural que divide a otro, también divide a los múltiplos de éste.

Número Primo

Un **número primo** es aquél que solamente es divisible por él mismo y por la unidad. En caso contrario el número se llama **compuesto**.

Criterios de Divisibilidad

“Un número es divisible por otro si y sólo si el primero contiene todos los factores primos del segundo con exponentes iguales o mayores”.