Explorando Múltiplos, Factores y Divisores en Números Naturales

Múltiplos en los Números Naturales

Un número A es **múltiplo** de un número B cuando es el resultado de multiplicarlo por otro número C, es decir: A = B • C.

Ejemplos de Múltiplos

• 18 es múltiplo de 9 porque: 2 • 9 = 18.
• Obtenemos un múltiplo natural al multiplicarlo por cualquier número natural.

Propiedades de los Múltiplos

1. 0 es múltiplo de todos los números.
2. Todo número distinto de 0 tiene infinitos múltiplos. Ejemplo: 0 • 3 = 0
3. Si A es múltiplo de B, al dividir A entre B la división es exacta.

Factores

Un **factor** es cada uno de los términos de la multiplicación.

• Al factor A se le llama multiplicando.
• Al factor B se le llama multiplicador.

Muchos números se pueden separar en factores de diferentes maneras. Por ejemplo, el 16 se puede escribir como: 4 • 4, 16 • 1, 2 • 8.

Los factores se pueden representar en una **matriz**, que es un conjunto o grupo de objetos colocados en hileras o columnas.

Divisores

A los factores de un número también se les llama **divisores** de ese número. Es decir, si un número es divisor de otro, lo divide en forma exacta.

Ejemplo de Divisores

7 es divisor de 14 porque 14 ÷ 7 = 2.

Números Primos y Compuestos

Un **número primo** es aquel que es mayor que uno y tiene solo 2 divisores: el número 1 y el propio número.

Ejemplos de Números Primos

• D(7) = {1, 7}
• D(11) = {1, 11}

Si tiene más de 2 divisores, el número es **compuesto**. El número uno no es primo ni compuesto, ya que solo tiene un divisor, que es el mismo número.

Ejemplos de Números Compuestos y Primos

• 63 es un número compuesto.
• 53 es un número primo.

Lista de Números Primos

2, 3, 5, 7, 11, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

Descomposición en Factores Primos

Todo número compuesto se puede descomponer en una multiplicación de números primos. Esto se llama **descomposición en factores primos** y se puede representar mediante un diagrama de árbol.

Método: Tabla de Factores Primos

1. Dibujar la tabla y escribir el valor.
2. Dividir el número natural por un número primo, escribir el cociente debajo y repetir hasta que el cociente sea 1.

Mínimo Común Múltiplo (MCM)

El **MCM** de varios números es el menor de sus múltiplos comunes, y se representa como mcm(b) de un número.

Métodos para Calcular el MCM

1. MCM a través de sus múltiplos

Ejemplo: Encontrar el MCM entre 6 y 10.

a) Buscar los múltiplos:

• M(6) = {6, 12, 18, 24, 30, 36...}
• M(10) = {10, 20, 30, 40, 50...}

b) Marcar el primer múltiplo en común. Por lo tanto, el mcm(6, 10) es 30.

2. Método de la tabla

Se deben seguir los siguientes pasos:

• Se descompone cada número en el producto de factores primos.
• El producto de esos factores comunes es el mínimo común múltiplo de los números dados.

Para calcular el MCM de 2 números, donde uno es primo, solo se multiplican. Ejemplo: mcm(12, 7) = 12 • 7 = 84.

Máximo Común Divisor (MCD)

El **máximo común divisor** de varios números es el mayor de sus divisores comunes y se representa como MCD(a, b...).

Pasos para Calcular el MCD

1. Se descompone cada número como el producto de factores primos.
2. El producto de estos factores elevado al menor exponente es el máximo común divisor.

Ejemplo: Calcular MCD(12, 18).