Explorando Propiedades Clave de Funciones: Simetría, Asíntotas, Crecimiento y Extremos

Propiedades Fundamentales de las Funciones

Simetría de Funciones

Una función f es simétrica respecto al eje de ordenadas (eje Y) si es una función par, es decir:

f(-x) = f(x)

Una función f es simétrica respecto al origen si es una función impar, es decir:

f(-x) = -f(x)

Puntos de Corte con los Ejes

Para hallar los puntos de corte con los ejes de una función, se deben seguir los siguientes pasos:

• Corte con el eje Y: Se calcula f(0). El punto de corte es (0, f(0)).
• Corte con el eje X: Se iguala f(x) = 0 y se resuelven las raíces. Los puntos de corte son (x, 0) para cada raíz.

Ejemplo

Hallar los puntos de corte con los ejes de la función:

[Aquí iría un ejemplo de función para calcular sus puntos de corte]

Asíntotas de una Función

Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va acercando indefinidamente. Existen tres tipos principales de asíntotas:

Asíntotas Horizontales

Una recta y = L es una asíntota horizontal si el límite de la función cuando x tiende a infinito (o menos infinito) es L:

lim_x→∞ f(x) = L o lim_x→-∞ f(x) = L

Ejemplo

Calcular las asíntotas horizontales de la función:

[Aquí iría un ejemplo de función para calcular sus asíntotas horizontales]

Asíntotas Verticales

Una recta x = k es una asíntota vertical si el límite de la función cuando x tiende a k (por la izquierda o por la derecha) es infinito:

lim_x→k^± f(x) = ±∞

Consideramos que el resultado del límite es ∞ si tenemos un número real partido por cero.

Los valores de k son los puntos que no pertenecen al dominio de la función (especialmente relevantes en las funciones racionales, donde el denominador se anula).

Ejemplo

Calcular las asíntotas verticales de la función:

[Aquí iría un ejemplo de función para calcular sus asíntotas verticales]

Crecimiento y Decrecimiento de Funciones

Crecimiento en un Punto

Si f es derivable en a:

f es estrictamente creciente en a si:

f'(a) > 0

Decrecimiento en un Punto

Si f es derivable en a:

f es estrictamente decreciente en a si:

f'(a) < 0

Intervalos de Crecimiento y Decrecimiento

Para hallar el crecimiento y decrecimiento de una función, se seguirán los siguientes pasos:

1. Derivar la función, obteniendo f'(x).
2. Obtener las raíces de la primera derivada, para ello se iguala f'(x) = 0 y se resuelven las ecuaciones resultantes.
3. Formar intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la primera derivada y los puntos de discontinuidad de la función (si los hubiese).
4. Tomar un valor de cada intervalo y determinar el signo de la primera derivada (f'(x)) en ese punto.
   • Si f'(x) > 0, la función es creciente en ese intervalo.
   • Si f'(x) < 0, la función es decreciente en ese intervalo.
5. Escribir los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

Cálculo de Máximos y Mínimos (Extremos Locales)

Para hallar los extremos locales de una función, se seguirán los siguientes pasos:

1. Hallar la primera derivada (f'(x)) y calcular sus raíces (puntos críticos).
2. Calcular la segunda derivada (f''(x)) y evaluar el signo que toman en ella las raíces de la primera derivada:
   • Si f''(a) < 0, el punto a corresponde a un máximo relativo.
   • Si f''(a) > 0, el punto a corresponde a un mínimo relativo.
3. Calcular la imagen (el valor de la función original f(x)) de los extremos relativos para obtener sus coordenadas completas.

Ejemplo

Calcular los máximos y mínimos de:

f(x) = x³ − 3x + 2
f'(x) = 3x² − 3 = 0  =>  x² = 1  =>  x = ±1
f''(x) = 6x

Evaluación de la segunda derivada:
f''(-1) = 6(-1) = -6  =>  Máximo relativo en x = -1
f''(1) = 6(1) = 6   =>  Mínimo relativo en x = 1

Cálculo de las coordenadas Y:
f(-1) = (-1)³ − 3(-1) + 2 = -1 + 3 + 2 = 4
f(1) = (1)³ − 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0

Resultados:
Máximo: (-1, 4)
Mínimo: (1, 0)

Intervalos de Concavidad y Convexidad

Para calcular los intervalos de concavidad y convexidad de una función, se seguirán los siguientes pasos:

1. Hallar la segunda derivada (f''(x)) y calcular sus raíces.
2. Formar intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la segunda derivada y los puntos de discontinuidad de la función (si los hubiese).
3. Tomar un valor de cada intervalo y determinar el signo de la segunda derivada (f''(x)) en ese punto.
   • Si f''(x) > 0, la función es cóncava en ese intervalo.
   • Si f''(x) < 0, la función es convexa en ese intervalo.
4. Escribir los intervalos de concavidad y convexidad.

Ejemplo de Intervalos de Concavidad y Convexidad