Explorando el Teorema del Límite Central y Distribuciones Estadísticas Clave

Teorema del Límite Central

Dadas X₁, X₂,.... X_n, n variables aleatorias independientes, que siguen funciones de distribución F_i(X_i) cualesquiera con E[X_i]= μ_i y V[X_i]= σ_i². Bajo condiciones muy generales, siendo n suficientemente grande, se puede afirmar, con un riesgo tanto menor cuanto mayor sea n, que la función de distribución de una variable aleatoria, S_n= X₁+ X₂+ ....+ X_n tiende a una distribución Normal: N(Σμ_i, Σσ_i²)

Distribución χ² de Pearson

Dadas x₁, x₂, ..., x_n variables, todas ellas N(0,1) e independientes, se denomina Χ_n² a la variable:

Χ_n² = x₁² + x₂² +...+ x_n²

Donde el subíndice n indica el número de variables aleatorias que componen la suma y se denomina grados de libertad.

Distribución t de Student

Dadas x, x₁, x₂, ..., x_n (n+1) variables, todas ellas N(0, σ) e independientes, se denomina t_n de Student a la variable:

t = x / (√(Σ x_i² / n))

E(T) = 0

Var(T) = n / (n - 2)

Concepto de Estimador

Si X tiene función de densidad f(x,q), con q parámetro desconocido, se llama estimador de q a un estadístico que puede alcanzar valores próximos al valor desconocido de q. Una vez obtenida la m.a.s. x₁, x₂, ..., x_n, el valor numérico que se asigna al parámetro recibe el nombre de estimación de q.

g(x₁, x₂, ..., x_n) = q

P.e. Estimadores de la media μ pueden ser la media muestral, la mediana, la media geométrica, ... En un estimador se debe buscar “su capacidad de extraer al máximo” la información contenida en la muestra sobre q, ya que esto supondrá una mayor precisión de las estimaciones.

Estadístico

Aspectos de interés relacionados con la obtención de un estadístico son:

1. Encontrar el estadístico adecuado al problema de inferencia estadística en estudio, en la estimación de parámetros poblacionales, refiriéndonos a ellos como estimadores, y a su valor concreto como estimación.
2. Encontrar la distribución exacta de un estadístico en muestras pequeñas (n<30).
3. Encontrar la distribución asintótica de un estadístico cuando n→∞.
4. Encontrar el tamaño de muestra n, para obtener una precisión suficiente en la estimación de los parámetros o en la construcción de contrastes de potencia alta.

Por ejemplo, sea la muestra (x₁, x₂), y sea el estadístico U= x₁+ x₂, la probabilidad de que (U ≤ 5), será la probabilidad de que (x₁, x₂) pertenezcan al siguiente recinto sombreado.