Factorización LU: Métodos de Doolittle y Crout para Sistemas Lineales

Métodos de Factorización LU: Doolittle y Crout

La factorización LU consiste en descomponer una matriz cuadrada A en el producto de dos matrices: una matriz triangular inferior L y una matriz triangular superior U. Este método se aplica para resolver sistemas de ecuaciones lineales de la forma Ap = q sin necesidad de intercambio de filas.

Este resultado permite resolver el sistema Ap = q, ya que al sustituir A por LU, se obtiene:

LUp = q

Para simplificar la resolución, se define Up = g, donde g es un vector desconocido.

Este vector g se puede obtener fácilmente resolviendo el sistema:

Lg = q

La resolución de este sistema se realiza mediante sustitución progresiva o hacia adelante, dado que L es una matriz triangular inferior.

Una vez calculado el vector g, se procede a resolver:

Up = g

Este segundo sistema se resuelve mediante sustitución regresiva, dado que U es una matriz triangular superior, obteniendo así el vector solución p.

Obtención de las Matrices L y U

Para encontrar las matrices triangulares L y U, se analiza la factorización de A en sus formas generales, dadas a continuación:

    =  

(Ecuación 3.7)

A continuación, se multiplican las matrices L y U:

1. Primera fila de L por las tres columnas de U:

   

   

   

2. Segunda fila de L por las tres columnas de U:

   

   

   

3. Tercera fila de L por las tres columnas de U:

   

   

   

Al realizar estas multiplicaciones, se obtiene un sistema de nueve ecuaciones con doce incógnitas:

Para resolver este sistema, es necesario establecer tres condiciones arbitrarias sobre las incógnitas. La forma de seleccionar estas condiciones ha dado lugar a diferentes métodos:

• Si se establecen las condiciones de modo que , se obtiene el método de Doolittle.
• Si, en cambio, se selecciona , el algoritmo resultante se denomina método de Crout.

Desarrollo de la Factorización

A continuación, se continuará el desarrollo de la factorización. Tómese:

Con estos valores, las ecuaciones se resuelven directamente en el orden en que se presentan:

De la sección (a):

u_1,1 = a_1,1

u_1,2 = a_1,2

u_1,3 = a_1,3

(Ecuación 3.8)

De la sección (b), y sustituyendo los resultados de la Ecuación 3.8:

(Ecuación 3.9)

De la sección (c), y sustituyendo los resultados de las Ecuaciones 3.8 y 3.9:

(Ecuación 3.10)

Ventajas y Aplicación

Las Ecuaciones 3.8, 3.9 y 3.10, convenientemente generalizadas, constituyen un método directo para la obtención de las matrices L y U. Este enfoque ofrece una ventaja significativa sobre la triangularización tradicional, ya que no es necesario escribir repetidamente las ecuaciones o los arreglos modificados del sistema Ap = q. A continuación, se presentará un ejemplo práctico para ilustrar su aplicación.