Física y Dinámica: Sistemas de Partículas y Cinemática del Sólido Rígido

1. Dinámica de Sistemas de Partículas

Momento Lineal

El momento lineal de una partícula individual se define como p_i = m_i · v_i. Para el sistema completo, el momento lineal total corresponde al sumatorio:

p = ∑ p_i ⇒ dp/dt = ∑ m_i · a_i = F_ext

Principio de conservación del momento lineal: Si la fuerza exterior resultante es nula (F = 0), entonces el momento lineal permanece constante (p = cte).

Momento Angular

El momento angular para cada partícula se expresa como L_i = r_i × m_i · v_i. Su variación temporal respecto a un punto fijo resulta:

∑ dL_i/dt = ∑ (dr_i/dt × m_i · v_i) + ∑ (r_i × m_i · a_i) = ∑ (r_i × F_i) = M

Si el momento exterior neto es cero (M = 0), el momento angular del sistema se conserva (L = cte).

Centro de Masas (CM)

La posición del centro de masas se calcula mediante:

r_cm = (∑ m_i · r_i) / (∑ m_i) = (1/M) ∑ m_i · r_i

En distribuciones continuas de masa:

r_cm = (∫ r dm) / (∫ dm) = (1/M) ∫ r dm

• En distribuciones homogéneas, el centro de masas coincide con el centro de gravedad (CM = CG).
• Si el cuerpo presenta simetría, el centro de masas se ubica sobre el eje de simetría.

Derivando respecto al tiempo, se obtienen la velocidad y la aceleración del CM:

dr_cm/dt = v_cm = (1/M) ∑ m_i · v_i = (1/M) · p ⇒ p = M · v_cm

dv_cm/dt = a_cm ⇒ F_ext = M · a_cm

En un sistema de referencia centrado en el CM, donde r_i = r_cm + r_i', el momento angular relativo resulta L_i' = r_i' × m_i · v_i', derivando en dL'/dt = ∑ M_i,cm.

Energía Cinética

La energía cinética total de un sistema de partículas se descompone en el movimiento del centro de masas más el movimiento interno relativo al mismo:

E_c = (1/2) ∑ m_i · v_i² = (1/2) M · v_cm² + (1/2) ∑ m_i · (v_i')²

Trabajo y Conservación de la Energía

El diferencial de trabajo total involucra fuerzas internas y externas: dW = (F_i + f₁₂) · dr.

W = W_int + W_ext = ΔE_c

Para fuerzas internas conservativas:

W_int = ∫ f₁₂ · (dr₁ - dr₂) = ∫ f₁₂ · dr₁₂ = U_int,i - U_int,f = -ΔU_int

Por lo tanto:

W_tot = W_int + W_ext = -ΔU_int + W_ext = ΔE_c,tot

Definiendo la energía propia como E_prop = U_int + E_c,tot = U_int + E_c,cm + E_c,int:

• Si no hay trabajo exterior neto: ΔE_prop = 0 ⇒ E_prop = cte.
• Fuerzas exteriores conservativas: W_ext = -ΔU_ext = ΔE_prop ⇒ ΔU_ext + ΔE_prop = 0 ⇒ E_tot = U_ext + E_prop = cte.
• Fuerzas no conservativas: W_ext = W_ext,c + W_ext,nc = -ΔU_ext + W_ext,nc ⇒ W_ext,nc = ΔU_ext + ΔE_prop = ΔE_tot.

Colisiones

Una colisión es una interacción entre dos o más cuerpos durante un intervalo de tiempo breve, donde las fuerzas internas son de gran magnitud y las externas resultan despreciables. Durante el impacto, existe un instante en que los cuerpos se mueven en conjunto.

• Fase D (Deformación): Impulso I_B = ∫ F_D dt = I.
• Fase R (Recuperación): Impulso I_A = -∫ F_R dt = -I'.
• Impulso total: I = ∫ F dt = Δp.
• Coeficiente de restitución (e): Relaciona los impulsos de recuperación y deformación mediante I' = e · I.

2. Dinámica del Sólido Rígido

Un sólido rígido es un sistema de partículas en el cual las distancias relativas entre ellas permanecen constantes ante la acción de fuerzas exteriores o en movimiento. Su cinemática general combina traslación y rotación. El momento de una fuerza respecto a un origen es M = r × F.

Momento Angular y Momento de Inercia

Para una partícula en rotación: L = r × p = r × m · v = r × m(ω × r) = m · r² · ω.

Para el sólido rígido:

L = ∑ L_i = ∑ (m_i · r_i²) · ω = I · ω

Donde el momento de inercia continuo se define como I = ∫ r² dm.

Teorema de Steiner y Radio de Giro

El teorema de Steiner permite calcular el momento de inercia respecto a un eje paralelo al que pasa por el centro de masas:

I' = I_cm + m · d²

Donde I_cm = ∑ m_i (x_i² + y_i²) e I' = ∑ m_i [(x_i - a)² + (y_i - b)²].

Radio de giro (k): Distancia respecto al eje de rotación donde se podría concentrar toda la masa del cuerpo sin alterar su inercia rotacional: I = m · k².

Principio de Conservación del Momento Angular en el Sólido Rígido

La ecuación fundamental de la rotación es:

dL/dt = M_ext ⇒ I · α = M

• Si M_ext = 0, el momento angular se conserva: L = cte.
• Si la fuerza aplicada actúa directamente sobre el centro de masas (como el propio peso aplicado en el CM): M = r × F = 0 ⇒ L = cte.

Energía Cinética, Trabajo y Potencia en la Rotación

La energía cinética de rotación corresponde a:

E_rot = (1/2) ∑ m_i · (v_i')² = (1/2) ∑ m_i (r_i' · ω)² = (1/2) [∑ m_i (r_i')²] · ω² = (1/2) I · ω²

El trabajo realizado en la rotación se calcula como:

dW = F · dr = F · r · dθ = M · dθ ⇒ W = ∫_θ1^θ₂ M dθ

Sustituyendo M = I · α y aplicando α dθ = (dω/dt) dθ = ω dω:

W = ∫_ω1^ω₂ I · ω dω = (1/2) I · ω₂² - (1/2) I · ω₁²

La potencia instantánea rotacional es P = dW/dt = M · ω.

Conservación de la Energía en el Sólido Rígido

Dado que las distancias internas son invariables, el trabajo interno en un sólido rígido es nulo (W_int = 0), por lo que W_ext = ΔE_c.

• Fuerzas conservativas: W_ext = -ΔU_ext = ΔE_c ⇒ Δ(U_ext + E_c) = 0 ⇒ E_tot = U_ext + E_c = cte.
• Fuerzas no conservativas: W_nc = ΔU_ext + ΔE_c = ΔE_tot.

Rodadura sin Deslizamiento

Para un cuerpo que rueda sin resbalar sobre una superficie plana:

• Ecuaciones de Newton: F - F_r = m · a_cm y N - m · g = 0.
• Dinámica rotacional: M = I · α ⇒ F_r · r = I · α.
• Condición cinemática de rodadura pura: a_cm = α · r. Si α = 0, entonces F = F_r = 0.

Aplicando el teorema de Steiner respecto al punto de contacto (eje instantáneo de rotación):

I' = I_cm + m · r² ⇒ E_c = (1/2) m · v² + (1/2) I_cm · ω² = (1/2) I' · ω²

Para garantizar rodadura sin deslizamiento se exige que F_r ≤ μ_e · N. Si existe deslizamiento, la fuerza de rozamiento cinético es F_r = μ_c · N.

Resistencia a la Rodadura (Rueda con Deformación)

Al considerar la deformación del contacto, la normal N se desplaza una distancia d hacia adelante:

• En traslación uniforme (v = cte ⇒ a = 0, α = 0): ∑ F_x = F - F_r = 0 y ∑ F_y = N - m · g = 0.
• Equilibrio de momentos: ∑ M = F_r · h - N · d = 0 ⇒ F_r · h = m · g · d.
• Aproximando h ≈ r: F = F_r ≈ m · g · (d / r).

El coeficiente de resistencia a la rodadura es μ_rod = d / r, de modo que F_rod = μ_rod · m · g. Este coeficiente depende de la dureza de las superficies, el radio de la rueda, la carga, la presión de inflado y la temperatura.

Efecto Giroscópico: Precesión y Nutación

Un giroscopio es un dispositivo consistente en un rotor simétrico que gira a alta velocidad en torno a su eje de revolución.

La ecuación que gobierna su evolución es dL/dt = M_ext, donde el momento gravitatorio externo es M = r × m · g.

• Si el rotor no gira (L₀ = 0): La variación dL = M dt coincide en dirección con el momento exterior y el eje cae hacia la vertical.
• Si el rotor gira a gran velocidad (L₀ ≠ 0): El momento M es perpendicular al momento angular propio L₀. Esto induce una rotación del eje en el plano horizontal conocida como precesión.
• Frecuencia de precesión (Ω): El módulo del momento angular se mantiene constante, cumpliendo:
  Ω = dΦ/dt = M / L = (m · g · r) / (I · ω).
• Nutación: Es una oscilación periódica superpuesta al movimiento de precesión, debida a variaciones temporales en la inclinación del eje vertical.