Electrostática y electromagnetismo: Coulomb, Gauss, Lorentz, Biot-Savart, Ampère y Faraday

Electrostática: Leyes Fundamentales y Propiedades de Conductores

Ley de Coulomb y Campo Eléctrico

Ley de Coulomb

La fuerza de interacción entre dos cargas puntuales es:

$$F = k \frac{q q'}{r^2}$$

Donde $k_0 = 9 \times 10^9 \text{ N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$ y $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$.

Definición de Culombio: Un culombio (C) es la carga eléctrica $q$ que, situada en el vacío a 1 metro de distancia de otra carga igual, experimenta una repulsión de $9 \times 10^9 \text{ N}$.

Conceptos Eléctricos Fundamentales

1. Intensidad del Campo Eléctrico ($E$): $E = \frac{F}{q'}$
2. Potencial Eléctrico ($V$): $V = k \frac{q}{r}$
3. Energía Potencial y Trabajo Eléctrico:
   • Energía Potencial: $E_p = q'V = k \frac{q q'}{r}$
   • Trabajo realizado por el campo: $W_{ab} = q'(V_a - V_b)$

Ley de Gauss

El flujo del campo eléctrico $E$ a través de una superficie cerrada es:

$$\Phi = \frac{1}{\epsilon_0} \sum q_i$$

Donde el sumatorio $\sum q_i$ afecta exclusivamente a las cargas interiores de dicha superficie.

Condiciones de Equilibrio Electrostático en Conductores

En equilibrio electrostático, no hay ningún movimiento neto de carga. Las cargas móviles están en reposo. Si no fuera así, habría un desplazamiento neto de carga, dando lugar a una corriente eléctrica.

Propiedades de los Conductores en Equilibrio

1. El Campo Eléctrico ($E$) en su interior es nulo. En su superficie, es perpendicular a ella. La magnitud del campo en la superficie es: $E = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$.
2. El Potencial Eléctrico ($V$) es constante en todos los puntos del conductor (es una superficie equipotencial). La relación diferencial es $dV = -E \cdot dr$.
3. La carga eléctrica del conductor está localizada en la superficie (la carga interior neta es nula).

Capacidad de un Conductor

La capacidad ($C$) de un conductor se define como:

$$C = \frac{q}{V}$$

La Energía Potencial almacenada ($E_p$) se expresa como:

$$E_p = \frac{1}{2} qV = \frac{1}{2} CV^2 = \frac{1}{2} \frac{q^2}{C}$$

Magnetismo y Electrodinámica

Interacción Magnética y Fuerza de Lorentz

Teorema Magnético Fundamental

La interacción entre polos magnéticos iguales es de repulsión, y entre polos diferentes es de atracción.

Características de la Fuerza Magnética (Fuerza de Lorentz)

La fuerza magnética sobre una carga $q$ que se mueve con velocidad $v$ en un campo $B$ tiene las siguientes propiedades:

1. Si la carga $q$ está en reposo ($v=0$), no aparece fuerza magnética sobre ella.
2. La fuerza magnética es proporcional a la carga eléctrica $q$ y a la velocidad $v$.
3. Existe una dirección particular (paralela a $B$) para la cual la fuerza magnética es nula.
4. En las demás direcciones, la fuerza magnética es perpendicular a la velocidad $v$ y al campo $B$.

La expresión vectorial de la fuerza es:

$$\vec{F} = q (\vec{v} \times \vec{B})$$

Consecuencias de la Fuerza de Lorentz

1. El trabajo realizado por la fuerza magnética sobre una carga $q$ que se desplaza es nulo, ya que la fuerza es siempre perpendicular a la dirección del movimiento de la carga.
2. Si el campo magnético $B$ es constante y la partícula se mueve perpendicularmente a $B$, su trayectoria es circular.

Para una trayectoria circular uniforme, la fuerza centrípeta es proporcionada por la fuerza magnética:

$$F = ma \implies qvB = \frac{mv^2}{R} \implies R = \frac{mv}{qB}$$

Campo Magnético Generado por Corrientes

Permeabilidad Magnética del Vacío

La permeabilidad del vacío es $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ N/A}^2$.

Ley de Biot-Savart (Campo Elemental de Corriente)

El campo magnético elemental $dB$ generado por un elemento de corriente $I d\vec{L}$ es:

$$d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I d\vec{L} \times \vec{r}}{r^2}$$

Fuerzas sobre Corrientes (Ley de Laplace)

1. Fuerza elemental sobre una corriente: $d\vec{F} = I (d\vec{L} \times \vec{B})$ (Primera Ley de Laplace).
2. Fuerza sobre un conductor rectilíneo: $\vec{F} = I (\vec{L} \times \vec{B})$.
3. Momento de Torsión en una Espira: El momento dipolar magnético $\vec{M}$ es $\vec{M} = I S \hat{n}$. El momento de torsión $\vec{\tau}$ sobre la espira es: $\vec{\tau} = \vec{M} \times \vec{B}$. La magnitud es $M = ISB \sin\theta$.

Campo Magnético de Configuraciones Geométricas

1. Corriente Rectilínea Indefinida: El campo $B$ es:
   • Proporcional a la intensidad de la corriente $I$.
   • Inversamente proporcional a la distancia $R$ del punto al conductor.
   $$B = \frac{\mu_0}{2\pi} \frac{I}{R}$$
2. Corriente Circular (en el centro): $$B = \frac{\mu_0}{2} \frac{I}{R}$$ Para $N$ espiras: $$B = \frac{\mu_0}{2} \frac{NI}{R}$$

Ley de Ampère (Aplicaciones)

Permite calcular el campo magnético en geometrías de alta simetría:

• Solenoide Toroidal: $B = \mu_0 n I$, donde $n = N/L = N / (2\pi R_{\text{med}})$.
• Solenoide Recto (ideal): $B = \mu_0 n I$, donde $n = N/L$.

Definición del Amperio

El amperio (A) se define como la intensidad de corriente que, al circular por dos conductores paralelos, rectilíneos e indefinidos, situados a 1 metro de distancia en el vacío, provoca una fuerza de atracción o repulsión de $2 \times 10^{-7} \text{ N}$ por metro de longitud de conductor.

La fuerza por unidad de longitud entre dos conductores paralelos es:

$$\frac{F}{L} = \frac{\mu_0}{2\pi} \frac{I_1 I_2}{d}$$

Inducción Electromagnética y Corriente Alterna

Principios de la Inducción (Leyes de Faraday y Lenz)

Observaciones Fundamentales de la Inducción

1. Cuando hay una variación de flujo magnético ($\Phi$), aparece una Fuerza Electromotriz (FEM) inducida ($\mathcal{E}$), y esta genera una Corriente Inducida ($I_{\text{induc}}$).
2. Si cesa la variación de flujo, la FEM es nula ($\mathcal{E}=0$) y la corriente inducida es nula ($I_{\text{induc}}=0$).
3. A mayor velocidad de variación del flujo, mayor es la FEM inducida.
4. Cuando el flujo cambia de polaridad, la FEM inducida también cambia de polaridad.

Ley de Faraday

La Fuerza Electromotriz ($\mathcal{E}$) inducida en un circuito es igual a la variación del flujo magnético que lo atraviesa por unidad de tiempo:

$$\mathcal{E} = - \frac{d\Phi}{dt}$$

Ley de Lenz

El sentido de las corrientes inducidas es tal que, con sus acciones, tienden a oponerse a las causas que las producen.

Fórmulas Derivadas

• Corriente Inducida: $I_{\text{induc}} = -\frac{1}{R} \cdot \frac{d\Phi}{dt}$
• FEM Inducida para $N$ espiras: $\mathcal{E} = -N \cdot \frac{d\Phi}{dt}$

Autoinducción

La FEM de autoinducción ($\mathcal{E}_{\text{ind}}$) se opone a la variación de la corriente $I$ que la produce:

$$\mathcal{E}_{\text{ind}} = -L \frac{dI}{dt}$$

Donde $L$ es el coeficiente de autoinducción (inductancia).

Generación de Corriente Alterna

La generación de la corriente alterna se basa en la variación sinusoidal del flujo magnético a través de una espira giratoria:

Flujo magnético: $\Phi(t) = BS \cos\phi = BS \cos(\omega t)$

FEM inducida (derivando el flujo):

$$\mathcal{E}(t) = - \frac{d\Phi}{dt} = BS\omega \sin(\omega t)$$