Formas y ecuaciones en geometría analítica

Rectas

Rectas: *forma punto-pendiente :

*forma pendiente ordenada al origen:

*forma segmentaria:

*forma general:  

*forma Polar: reemplazar

*forma normal:(signo opuesto a c) 

Polares:  

p: foco a directriz. Cos(eje polar) Sen(eje pi/2)

Simetria: *eje polar: a)reemplazar θpor -θ y no cambia b)θ por π-θ , r debe quedar como -r.  *eje π/2: a)θ por π-θ y no cambia b)θ por -θ y no cmbia. *al polo: a)r por -r y no cambia b)θ por π+θ y no cambia.

Distancia punto a recta

Distancia punto a recta:

Conicas: a)parabola(1) b)elipse(01) d)circunsferencia (0) 

a) parabola:

P=distancia foco a vertice.

Directriz X=-P

Recta tg: derivar la ecuacion igualada a 0, reemplazar y por el punto dado y se obtiene la pendiente tg. Normal se pone la misma pendiente opuesta inversa.

B)elipse.

directriz= a/e  -a/e    Focos:  vertices (a+centro,centro) y (centro,b+centro) Focos (c+centro,centro)

C)Hiperbola

Asintotas Long lado transversal: 2a , long l conjugado: 2b  Long lado recto

Focos: (c,h) (-c,k) o (0,c) (0,-c)

D)Circunsferencia: forma centro-radio

Ec de la recta tg a la circunsferencia:

1)>1)>

. Por lo tanto la ec de la recta tg resulta (y-y₀)=m(x-x₀). Se debe demostrar que el triangulo es

 isoceles por lo tanto lFPl=lFQl. Para determinar lQPl se debe buscar la interseccion de la recta hallada con el eje x. Por lo tanto  Por consecuente, el punto Q queda definido por Q(-x₀,0). Calculamos la distancias y probamos que

lPFl=lQFl.

Ecuaciones parametricas de la cicloide:

La cicloide es el lugar geometrico descrito por un punto p de una circunsferencia que rueda sin resbalar sobre una recta fija. Dados dos puntos en el plano con distinto valor de ordenada P1 y P2, la curva que posibilita el descenso en tiempo minimo por sobre cualquier otra curva incluida la recta, de una esfera colocada en P1 hasta P2 es un arco de cicloide. Debido a que la circunsferencia rueda sin resbalar, se verifica que el arco de circunsferencia de longitud at es igual a la distancia horizontal entre el punto de contacto con la recta fija y el eje y. En consecuencia la abscisa de P tiene una longitud igual a a.t-a.sen(t)=a(1-sen(t)). Por lo tanto las ecuaciones de la cicloide se deducen de la siguiente manera:

Ecuacion polar de las conicas: Valida cuando el foco o uno de los focos esta en el polo y el eje focal coincide con el eje polar.

 Sea la recta L ka directriz del foco O, perpendicular al eje focal y D el punto de interseccion. La distancia del foco a la directriz es P. Sea P (r,θ) un punto cualquiera de la conica, trazamos las perpendiculares IPBI y IPCI al eje polar y a la directriz. El punto P debe satisfacer la condicion: IPOI/IPCI=e. Deducimos que IPOI=r   y   IPCI=IDBI=IDOI+IOBI=p+r.cosθ. Sustituimos los valores y nos queda: r/p+r.cosθ=e. Despejamos r y nos queda: si el eje focal es horizontal:  siel eje focal es vertical: es Sen. e indica excentricidad de la conica.

 Ec recta tg a elipse :  X0, Y0 punto de la elipse

Ec recta tg a hiperbola:

Ecuacion parametrica de hiperbola. Se trazan dos circunsferencias concentricas al origen de radios a y b . A partir del origen una semirrecta con angulo t. De la geometria de la grafica siguiendo le secuencia indicada con flechas se deduce la determinacion del punto P, que pertenece a la hiperbola. Una breve consideracion para la deduccion de las ecuaciones parametricas es: en la grafica queda dibujado un triangulo rectangulo de hipotenusa de longitud x, un cateto de longitud a, cuyo valor es:  Por lo tanto las ecuaciones parametricas para la hiperbola son: x=a.sec(t)   y=b.tg(t)

preguntas:

*muestre que el producto mixto es numericamente igual al volumen del paralepipedo

ecuaciones parametricas de la elipse

Se trazan dos circunsferencias concentricas al origen de radios a y b. A partir del origen una semirrecta con angulo t que define dos intersecciones A y B con las circunsferencias. De la grafica se deduce la determinacion del punto P, que pertenece a la elipse. Se deducen las siguientes ecuaciones parametricas: x=a.cos(t)  y=b.sen(t)

Se demuestra:

Para demostrar hiperbola: cambia cos por sec, sen por tg  y el + por -