Formulario de Cálculo Multivariable: Reglas, Teoremas y Aplicaciones

Regla de la cadena: Considere una función f que depende de las variables x, y, así z = f(x, y) y en donde x e y son funciones de t, es decir, x = x(t) e y = y(t). Luego tenemos que ∂f/∂t = ∂f/∂x * dx/dt + ∂f/∂y * dy/dt.

Derivada Direccional y Vector Gradiente

1. Sacar derivadas parciales de cada variable y reemplazar el punto dado en esas derivadas = vector gradiente.
2. Restar puntos para sacar vector PQ y dividirlo por el módulo PQ = vector unitario.
3. D_uf = U * vector gradiente.

Teorema de la Función Implícita

(Este dice que una expresión "x" define a z = f(x,y)). Requisitos de la derivación implícita:

1. Analizar si f(x,y,z) es derivable (diferenciable).
2. f(x,y,z) debe anularse en el punto dado (=0).
3. La derivada parcial de z en el punto dado tiene que ser distinta de 0.

Polinomio de Taylor y Aproximación

P₁ = f(a,b) + f_x(a,b)*(x-a) + f_y(a,b)*(y-b)

P₂(x,y) = f(a,b) + f_x(a,b)*(x-a) + f_y(a,b)*(y-b) + 1/2 [f_xx(a,b)*(x-a)² + 2f_xy(a,b)*(x-a)*(y-b) + f_yy(a,b)*(y-b)²]

Valores Extremos

Función de 2 o 3 variables f(x,y,z) tiene un MÁXIMO local en P(a,b,c) si f(x,y,z) <= f(P) cuando (x,y,z) es cercano a P (f(P) = valor máximo).

Si f(x,y,z) >= f(P) --> f(x,y,z) tiene un MÍNIMO local.

(Máximos y mínimos globales absolutos se miran con respecto a todo el dominio).

Teorema de Weierstrass

Toda f(x) continua en un dominio cerrado y acotado siempre tiene máximo y mínimo global.

Teorema

Si f(x,y,z) es una f(x) dif. en (a,b,c) y tiene un valor extremo local (máximo o mínimo) en (a,b,c) --> ∇f(a,b,c) = (0,0,0)

Puntos Críticos

Estacionarios: donde el gradiente se anula ∇f(P) = (0,0,0)

Frontera: los que delimitan el dominio.

Singulares: puntos donde f no es diferenciable.

Clasificación de Puntos Críticos

2 Variables

Det. = D(a,b) = f_xx(a,b) * f_yy(a,b) - [f_xy(a,b)]² ---> se evalúa en el punto estacionario.

• D > 0 y f_xx(a,b) > 0 --> f(a,b) es un mínimo local.
• D > 0 y f_xx(a,b) < 0 --> f(a,b) es un máximo local.
• D < 0 --> f(a,b) nos da un punto de silla (ni máximo ni mínimo).

3 Variables

[f_x(a,b,c) = 0, f_y(a,b,c) = 0, f_z(a,b,c) = 0] --> ∇f(P) = (0,0,0)

Determinante Hessiano:

 fxx   fxy   fxz
 fyx   fyy   fyz
 fzx   fzy   fzz

D₁ = f_xx

D₂ = | f_xx f_xy | = f_xx * f_yy - f_xy * f_yx

| f_yx f_yy |

D₃ = D

• Si todos son + --> f(a,b,c) es un mínimo local.
• D₁ < 0, D₂ > 0, D₃ < 0 --> f(a,b,c) es un máximo local.
• Si los tres son distintos de cero --> f(a,b,c) es un punto silla.

Máximos y Mínimos con Restricciones

Nos pueden maximizar o minimizar f(x,y) va a estar sujeto a la restricción g(x,y) = K.

Teorema de Weierstrass

Toda función continua en un conjunto D cerrado y acotado tiene máximo y mínimo global.

Método de Multiplicadores de Lagrange

∇f = λ∇g, g(x,y) = K

∇f = (f_x, f_y), ∇g = (g_x, g_y) --> hacer un sistema de ecuaciones y despejar "x" e "y" para sacar puntos críticos.

Hessiano Orlado

Ď = | 0 gx gy |

| gx fxx - λgxx fxy - λgxy |

| gy fyx - λgyx fyy - λgyy |

Evaluamos Ď en el punto crítico frontera (a,b).

• Ď > 0 --> P(a,b) es un punto de máximo local.
• Ď < 0 --> P(a,b) es un punto de mínimo local.