Formulario Completo de Cálculo: Límites, Derivadas y Series

Conceptos Fundamentales de Cálculo

Límites

Los límites son una herramienta fundamental en cálculo para describir el comportamiento de una función a medida que su variable se acerca a un valor particular.

Casos Comunes de Resolución de Límites

1. Cociente de Polinomios (x → n): Cuando la variable x tiende a un número finito n, y el denominador se anula, se aplica la regla de Ruffini para factorizar y simplificar la expresión.
2. Cociente de Polinomios (x → 0): Si la variable x tiende a 0, se saca factor común la x con el menor exponente en el numerador y/o denominador para simplificar.
3. Presencia de Raíces (Numerador o Denominador): Cuando aparece una raíz cuadrada o de orden superior en el numerador o denominador, se multiplica la expresión por el conjugado (cambiando el signo central) de la expresión con la raíz, tanto en el numerador como en el denominador.
4. Raíz que Abarca Todo (Numerador o Denominador): Si una raíz abarca completamente el numerador o el denominador, se multiplica por la misma raíz para racionalizar la expresión.
5. Límites al Infinito (x → ∞) - Caso 1: Para cocientes de polinomios cuando x tiende a infinito, se divide el numerador y el denominador por la x de mayor exponente de toda la expresión.
6. Límites al Infinito (x → ∞) - Caso 2: En cocientes de funciones donde x tiende a infinito, se divide el numerador y el denominador, cada uno, por la x de su máximo exponente individual.

Límites Trigonométricos

Para resolver límites que involucran funciones trigonométricas, a menudo se utilizan límites notables. Una técnica común es dividir y multiplicar por el argumento de la función trigonométrica para aplicar el límite notable lim (x→0) sen(ax)/ax = 1 o lim (x→0) tg(ax)/ax = 1.

Ejemplo: Para lim (x→0) tg(2.5x) / x, se multiplica y divide por 2.5: lim (x→0) (tg(2.5x) / (2.5x)) * 2.5 = 1 * 2.5 = 2.5.

Límites Exponenciales

Cuando se presenta la forma indeterminada 1∞, a menudo se relaciona con el número e. La forma notable es lim (n→∞) (1 + 1/n)n = e.

Si el exponente es una suma o resta (ej: (f(x))(g(x) + h(x))), se puede distribuir la base elevada a cada término del exponente: (f(x))g(x) * (f(x))h(x).

Derivadas: Conceptos y Fórmulas Esenciales

La derivada representa la rapidez de cambio instantáneo de una función, la pendiente de la recta tangente en un punto, o el concepto de marginalidad en economía.

Fórmulas Básicas de Derivación

• Y = c → Y' = 0 (donde c es una constante)
• Y = xn → Y' = n * x(n-1)
• Y = √x → Y' = 1 / (2 * √x)
• Y = 1/x → Y' = -1/x2
• Y = ln(x) → Y' = 1/x
• Y = ex → Y' = ex
• Y = ax → Y' = ax * ln(a)
• Y = sen(x) → Y' = cos(x)
• Y = cos(x) → Y' = -sen(x)
• Y = tg(x) → Y' = sec2(x)
• Y = sec(x) → Y' = sec(x) * tg(x)
• Y = cosec(x) → Y' = -cosec(x) * cotg(x)
• Y = cotg(x) → Y' = -cosec2(x)

Reglas de Derivación con la Regla de la Cadena (u es una función de x)

• Y = un → Y' = n * u(n-1) * u'
• Y = √u → Y' = u' / (2 * √u)
• Y = n√u → Y' = u' / (n * n√(u(n-1)))
• Y = ln(u) → Y' = u'/u
• Y = eu → Y' = u' * eu
• Y = au → Y' = u' * au * ln(a)
• Y = sen(u) → Y' = u' * cos(u)
• Y = cos(u) → Y' = -u' * sen(u)
• Y = tg(u) → Y' = u' * sec2(u)
• Y = cotg(u) → Y' = -u' * cosec2(u)

Reglas de Derivación para Operaciones

• Producto: Y = u * v → Y' = u' * v + u * v'
• Cociente: Y = u / v → Y' = (u' * v - u * v') / v2
• Función Potencia-Función: Y = uv → Y' = v * u(v-1) * u' + v' * uv * ln(u)

Derivación Logarítmica

Se utiliza para funciones complejas, especialmente aquellas con una función en la base y otra en el exponente (ej: y = xsen(x)).

1. Aplicar logaritmo natural a ambos lados: ln(y) = sen(x) * ln(x).
2. Derivar implícitamente ambos lados respecto a x: y'/y = (sen(x))' * ln(x) + sen(x) * (ln(x))'.
3. Despejar y'.

Razón de Cambio Promedio

La razón de cambio promedio de una función f(x) en un intervalo [x, x + Δx] se calcula como:

(f(x + Δx) - f(x)) / Δx

Para calcularla, se evalúa la función en x + Δx y en x, se resta y se divide por Δx.

Diferencial de una Función

El diferencial de una función y = f(x) se define como dy = y' * dx (o dy = y' * Δx). Representa una aproximación lineal del cambio real de la función (Δy).

Para calcular el incremento real (Δy), se evalúa f(x + Δx) - f(x). Luego, se puede comparar Δy con dy para observar la aproximación.

Ecuaciones de Rectas Tangente y Normal

Dada una función y = f(x) y un punto (x₀, y₀):

• Recta Tangente: y - y₀ = y'₀(x - x₀)
• Recta Normal: y - y₀ = -1/y'₀(x - x₀)

Series Infinitas

Series Geométricas

Una serie geométrica tiene la forma a + ar + ar2 + ...

• Razón Común (q): q = a₂ / a₁ (el segundo término dividido por el primero).
• Término General (a_n): an = a₁ * q(n-1).
• Convergencia: La serie es convergente si |q| < 1.
• Divergencia: La serie es divergente si |q| ≥ 1.
• Suma de una Serie Convergente (S): S = a₁ / (1 - q).

Criterio de D'Alembert (Criterio de la Razón)

Para una serie Σ an, se calcula el límite:

L = lim (n→∞) |an+1 / an|

• Si L < 1, la serie es convergente.
• Si L > 1, la serie es divergente.
• Si L = 1, el criterio no es concluyente.

Criterio de Cauchy (Criterio de la Raíz)

Para una serie Σ an, se calcula el límite:

L = lim (n→∞) n√( |an| )

• Si L < 1, la serie es convergente.
• Si L > 1, la serie es divergente.
• Si L = 1, el criterio no es concluyente.