Formulario Completo de Geometría en el Espacio: Rectas, Planos y Vectores

1) Ecuaciones de la Recta

Dado un punto A(a₁, a₂, a₃) y un vector director →v = (v₁, v₂, v₃):

• Vectorial: (x, y, z) = (a₁, a₂, a₃) + t · (v₁, v₂, v₃)
• Paramétricas:

  { x = a1 + t · v1
  y = a2 + t · v2
  z = a3 + t · v3 }

• Continua: (x - a₁) / v₁ = (y - a₂) / v₂ = (z - a₃) / v₃

Intersección de Dos Planos (Forma Implícita de la Recta)

Una recta puede definirse como la intersección de dos planos:

{ A x + B y + C z + D = 0
A' x + B' y + C' z + D' = 0 }

2) Ecuaciones del Plano

Dado un punto A(a₁, a₂, a₃) y dos vectores directores no paralelos →u = (u₁, u₂, u₃) y →v = (v₁, v₂, v₃):

• Vectorial: (x, y, z) = (a₁, a₂, a₃) + t · (u₁, u₂, u₃) + s · (v₁, v₂, v₃)
• Paramétricas:

  { x = a1 + t · u1 + s · v1
  y = a2 + t · u2 + s · v2
  z = a3 + t · u3 + s · v3 }

• Cartesiana (Determinante):

  | x - a1  y - a2  z - a3 |
  | u1        u2        u3        | = 0
  | v1        v2        v3        |

• General (Implícita): A x + B y + C z + D = 0

3) Posiciones Relativas

Estudio de las posiciones relativas entre elementos geométricos en el espacio:

• a) Entre Dos Rectas: Se determina a partir de sus puntos y vectores directores, generalmente resolviendo un sistema de ecuaciones. Pueden ser:
  • Coincidentes: Las rectas son la misma.
  • Paralelas: Tienen la misma dirección pero no se intersecan.
  • Secantes: Se intersecan en un único punto.
  • Se Cruzan: No son paralelas ni se intersecan (en 3D).
• b) Entre Recta y Plano: Se sustituyen las ecuaciones paramétricas de la recta en la ecuación general del plano para resolver el sistema. Pueden ser:
  • Secantes en un Punto: La recta atraviesa el plano.
  • Recta Paralela al Plano: La recta y el plano tienen la misma dirección pero no se intersecan.
  • Recta Contenida en el Plano: La recta forma parte del plano.
• c) Entre Dos Planos: Se analiza el sistema de ecuaciones formado por ambos planos. Pueden ser:
  • Coincidentes: Los planos son el mismo.
  • Paralelos: Tienen la misma orientación pero no se intersecan.
  • Secantes en una Recta: Se intersecan a lo largo de una línea.
• d) Entre Tres Planos: Se resuelve el sistema de ecuaciones formado por los tres planos para determinar su intersección (punto, recta, plano o vacío).

8) Producto Escalar

Dados dos vectores →u = (u₁, u₂, u₃) y →v = (v₁, v₂, v₃):

• Definición Geométrica: →u · →v = |→u| · |→v| · cos α
• Definición Analítica: →u · →v = u₁ · v₁ + u₂ · v₂ + u₃ · v₃

9) Ángulo entre Vectores

El coseno del ángulo α entre dos vectores →u y →v se calcula como:

cos α = (→u · →v) / (|→u| · |→v|)

10) Ángulo entre Rectas

Dadas dos rectas r con vector director →v_r y s con vector director →v_s, el coseno del ángulo α entre ellas es:

cos α = |→v_r · →v_s| / (|→v_r| · |→v_s|)

11) Ángulo entre Planos

Dados dos planos π₁ con vector normal →n₁ y π₂ con vector normal →n₂, el coseno del ángulo α entre ellos es:

cos α = |→n₁ · →n₂| / (|→n₁| · |→n₂|)

12) Ángulo entre Recta y Plano

Dada una recta con vector director →v y un plano con vector normal →n, el seno del ángulo α entre ellos es:

sen α = |→v · →n| / (|→v| · |→n|)

13) Producto Vectorial

Dados dos vectores →u = (u₁, u₂, u₃) y →v = (v₁, v₂, v₃), su producto vectorial →u × →v se calcula como:

→u × →v = | →i  →j  →k  |
| u1  u2  u3 |
| v1  v2  v3 |

14) Otras Cuestiones de Geometría

• Área de un Paralelogramo: Formado por los vectores →AB y →AC:

  A = |→AB × →AC|

• Área de un Triángulo: Formado por los vectores →AB y →AC:

  A = |→AB × →AC| / 2

• Volumen de un Paralelepípedo: Formado por los vectores →AB, →AC y →AD:

  V = |det(→AB, →AC, →AD)|

• Volumen de un Tetraedro (Pirámide triangular): Formado por los vectores →AB, →AC y →AD:

  V = |det(→AB, →AC, →AD)| / 6

15) Distancia entre Dos Puntos

Dados dos puntos P(x_P, y_P, z_P) y Q(x_Q, y_Q, z_Q), la distancia d(P, Q) es:

d(P, Q) = √((x_Q - x_P)² + (y_Q - y_P)² + (z_Q - z_P)²)

16) Distancia entre un Punto P y una Recta r

1. Hallar un plano π que pase por el punto P y cuyo vector normal sea el vector director de la recta r (→v_r).
2. Hallar M, el punto de intersección de la recta r y el plano π.
3. La distancia d(P, r) es la magnitud del vector →PM: d(P, r) = |→PM|.

17) Distancia entre un Punto P y un Plano π

1. Hallar una recta r que pase por el punto P y cuyo vector director sea el vector normal del plano π (→n_π).
2. Hallar M, el punto de intersección de la recta r y el plano π.
3. La distancia d(P, π) es la magnitud del vector →PM: d(P, π) = |→PM|.

18) Distancia entre Elementos Paralelos

Para calcular la distancia entre dos rectas paralelas, dos planos paralelos o una recta y un plano paralelos:

1. Elegir un punto cualquiera en uno de los elementos.
2. Calcular la distancia de ese punto al otro elemento utilizando las fórmulas de distancia punto-recta o punto-plano, según corresponda.

19) Ecuación del Plano que Pasa por Tres Puntos A, B y C

1. Elegir uno de los puntos como punto de origen del plano (ej. A).
2. Hallar dos vectores directores no paralelos a partir de los puntos (ej. →AB y →AC).
3. Obtener la ecuación del plano (paramétrica o implícita) utilizando el punto elegido y los dos vectores directores.

20) Ecuación del Plano que Contiene a un Punto A y a una Recta r

1. Obtener de la recta r un punto (ej. B) y su vector director (→v_r).
2. Hallar el vector →AB que une el punto A con el punto B de la recta.
3. Obtener la ecuación del plano (paramétrica o implícita) utilizando el punto A (o B), el vector →v_r y el vector →AB.