Formulario Completo de Matemáticas y Física: Cálculo, Trigonometría y Ondas

Integrales Fundamentales

• ∫ k dx = kx + c

• ∫ (1/x) dx = ln|x| + c

• ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + c (para n ≠ -1)

• ∫ e^x dx = e^x + c

• ∫ a^x dx = a^x/ln(a) + c (para a > 0 y a ≠ 1)

• ∫ sen(x) dx = -cos(x) + c

• ∫ cos(x) dx = sen(x) + c

• ∫ sec²(x) dx = tan(x) + c

• ∫ csc²(x) dx = -cot(x) + c

• ∫ tan(x) sec(x) dx = sec(x) + c

• ∫ cot(x) csc(x) dx = -csc(x) + c

• ∫ (1/√(1-x²)) dx = arcsen(x) + c

• ∫ (1/(1+x²)) dx = arctan(x) + c

• ∫ (1/(|x|√(x²-1))) dx = arcsec(x) + c

Identidades Trigonométricas Esenciales

• sen²(x) + cos²(x) = 1

• 1 + tan²(x) = sec²(x)

• 1 + cot²(x) = csc²(x)

• tan(x) = sen(x) / cos(x)

• csc(x) = 1 / sen(x)

• sec(x) = 1 / cos(x)

• cot(x) = 1 / tan(x) = cos(x) / sen(x)

• sen(a + b) = sen(a)cos(b) + cos(a)sen(b)

• cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b)

• sen(a - b) = sen(a)cos(b) - cos(a)sen(b)

• cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sen(a)sen(b)

• sen(2a) = 2sen(a)cos(a)

• cos(2a) = cos²(a) - sen²(a)

• tan(2a) = (2tan(a)) / (1 - tan²(a))

• sen(a/2) = ±√((1 - cos(a))/2)

• cos(a/2) = ±√((1 + cos(a))/2)

• tan(a/2) = ±√((1 - cos(a))/(1 + cos(a)))

• sen(A) + sen(B) = 2 · sen((A+B)/2) · cos((A-B)/2)

• sen(A) - sen(B) = 2 · cos((A+B)/2) · sen((A-B)/2)

• cos(A) + cos(B) = 2 · cos((A+B)/2) · cos((A-B)/2)

• cos(A) - cos(B) = -2 · sen((A+B)/2) · sen((A-B)/2)

Tabla de Derivadas: Reglas y Funciones Comunes

Reglas de Derivación

• Suma: D[f(x) + g(x)] = f'(x) + g'(x)

• Producto por un escalar: D[k·f(x)] = k·f'(x)

• Producto: D[f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

• Cociente: D[f(x)/g(x)] = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x)) / (g(x))²

• Composición (Regla de la Cadena):

  • D{f[g(x)]} = f'[g(x)]g'(x)

  • D{f(g[h(x)])} = f'[g(h(x))]g'[h(x)]h'(x)

Derivadas de Funciones Elementales

• Potencia:

  • D(xⁿ) = n·x^n-1

  • D[f(x)ⁿ] = n·f(x)^n-1·f'(x)

  • D(√x) = D(x^1/2) = 1/(2√x)

  • D[√(f(x))] = f'(x) / (2√(f(x)))

  • D(1/x) = D(x^-1) = -1/x²

  • D[1/f(x)] = -f'(x) / (f(x))²

• Trigonométricas:

  • D(sen(x)) = cos(x)

  • D[sen(f(x))] = cos(f(x))·f'(x)

  • D(cos(x)) = -sen(x)

  • D[cos(f(x))] = -sen(f(x))·f'(x)

  • D(tan(x)) = 1/cos²(x) = sec²(x)

  • D[tan(f(x))] = [1 + tan²(f(x))]·f'(x) = sec²(f(x))·f'(x)

• Funciones Arco (Inversas Trigonométricas):

  • D(arcsen(x)) = 1 / √(1-x²)

  • D[arcsen(f(x))] = f'(x) / √(1-f(x)²)

  • D(arccos(x)) = -1 / √(1-x²)

  • D[arccos(f(x))] = -f'(x) / √(1-f(x)²)

  • D(arctan(x)) = 1 / (1+x²)

  • D[arctan(f(x))] = f'(x) / (1+f(x)²)

• Exponenciales:

  • D(e^x) = e^x

  • D[e^f(x)] = e^f(x)·f'(x)

  • D(a^x) = a^x·ln(a)

  • D[a^f(x)] = a^f(x)·ln(a)·f'(x)

• Logarítmicas:

  • D(ln(x)) = 1/x

  • D[ln(f(x))] = f'(x)/f(x)

  • D(log_a(x)) = 1/(x·ln(a))

  • D[log_a(f(x))] = f'(x)/(f(x)·ln(a))

Física: Movimiento Armónico Simple y Ondas

Movimiento Armónico Simple (M.A.S.)

• Periodo (T): T = 1/f = 2π/ω

• Frecuencia (f): f = 1/T = ω/(2π)

• Ecuación de Posición: X(t) = A sen(ωt + Φ₀) = A sen(2πft + Φ₀) = A sen((2π/T)t + Φ₀)

• Velocidad (en función del tiempo): V(t) = Aω cos(ωt + Φ₀)

• Velocidad (en función de la posición): V(x) = ±ω√(A² - x²)

• Aceleración: a(t) = -Aω² sen(ωt + Φ₀) = -ω²X(t)

Energías en M.A.S.

• Energía Potencial Elástica (Ep): Ep = 1/2 k x²

• Energía Mecánica Total (Em): Em = 1/2 m ω² A²

• Energía Cinética (Ec): Ec = 1/2 m V²

• Energía Total (E): E = 1/2 k A² (donde k = mω²)

Ondas Armónicas

• Ecuación de Onda Armónica: Y(x,t) = A sen[2π(t/T - x/λ) + Φ₀]

• Longitud de Onda (λ): λ = V_p T

• Velocidad de Fase de la Onda (V_p): V_p = λf = λ/T

• Velocidad de Propagación de Onda: V_propagación = λf = λ/T

• Velocidad de Vibración (de una partícula): V_vibración = Aω cos[2π(t/T - x/λ) + Φ₀]

• Aceleración de Vibración (de una partícula): a_vibración = -Aω² sen[2π(t/T - x/λ) + Φ₀]

Intensidad de Onda

• Unidimensional: I = E/t (Energía por unidad de tiempo)

• Bidimensional: I = E/(t·2πr) (Energía por unidad de tiempo y longitud de frente de onda)

• Tridimensional: I = E/(t·4πr²) (Energía por unidad de tiempo y área esférica)

Velocidad de Onda

• V = L/t

• V = λ/T = λf