Formulario Completo de Matemáticas: Trigonometría, Geometría Analítica y Cálculo de Límites

Trigonometría: Fórmulas Fundamentales

Identidades de Suma y Resta

Nota: Se utiliza α para 'a' y β para 'b' para mayor claridad.

• Seno de la suma: sen(α+β) = sen α · cos β + sen β · cos α
• Coseno de la suma: cos(α+β) = cos α · cos β - sen α · cos β
• Tangente de la suma: tg(α+β) = (tg α + tg β) / (1 - tg α · tg β)

Identidades de Ángulo Doble

• sen(2α) = 2 · sen α · cos α
• cos(2α) = cos² α - sen² α
• tg(2α) = (2 · tg α) / (1 - tg²α)

Identidades de Ángulo Mitad

• sen(α/2) = ±√((1 - cos α)/2)
• cos(α/2) = ±√((1 + cos α)/2)
• tg(α/2) = ±√((1 - cos α)/(1 + cos α))

Signos de las Razones Trigonométricas por Cuadrante

Orden de las razones: Seno, Coseno, Tangente, Cotangente, Secante, Cosecante.

Reducción al Primer Cuadrante

• sen(180° - α) = senα
• cos(180° - α) = -cosα
• sen(-α) = -senα
• cos(-α) = cosα
• sen(180° + α) = -senα
• cos(180° + α) = -cosα
• sen(360° - α) = -senα
• cos(360° - α) = cosα
• sen(360° + α) = senα
• cos(360° + α) = cosα

Geometría Analítica del Plano

Vectores y Ángulos

Coseno del ángulo entre dos vectores $\vec{x}$ y $\vec{y}$:

$$ \text{cos}(\vec{x}, \vec{y}) = \frac{\vec{x} \cdot \vec{y}}{|\vec{x}| \cdot |\vec{y}|} $$

Ecuaciones de la Recta en el Plano

1. Ecuación Vectorial: $(x, y) = (p_1, p_2) + \lambda (u_1, u_2)$
2. Ecuaciones Paramétricas:

   $$ \begin{cases} x = p_1 + \lambda u_1 \\ y = p_2 + \lambda u_2 \end{cases} $$

3. Ecuación Continua: $\frac{x - p_1}{u_1} = \frac{y - p_2}{u_2}$
4. Ecuación General (Implícita): $Ax + By + C = 0$
5. Ecuación Explícita: $y = mx + n$
6. Ecuación que pasa por dos puntos $(x_1, y_1)$ y $(x_2, y_2)$: $\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$
7. Ecuación Punto-Pendiente: $y - y_1 = m(x - x_1)$

Distancias y Puntos Notables

• Punto Medio $M$ entre $P(p_1, p_2)$ y $Q(q_1, q_2)$:

  $$ M = \left(\frac{p_1 + q_1}{2}, \frac{p_2 + q_2}{2}\right) $$

• Distancia entre dos puntos:

  Ejemplo de cálculo: $P(2, -5)$ y $Q(-3, 1)$

  Vector $\vec{PQ} = (-3 - 2, 1 - (-5)) = (-5, 6)$

  Distancia $d(P, Q) = \sqrt{(-5)^2 + (6)^2} = \sqrt{25 + 36} = \sqrt{61} \text{ u}$

• Distancia de un punto $P(p_1, p_2)$ a una recta $Ax+By+C=0$:

  $$ d(P, r) = \frac{|Ap_1 + Bp_2 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} $$

Cónicas

Circunferencia

Definición: Lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro.

Ecuación General: $x^2 + y^2 - 2ax - 2by + a^2 + b^2 - r^2 = 0$

Radio: $r = \sqrt{a^2 + b^2 - p}$

Elipse

Definición: Lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos focos es constante e igual a $2a$.

Elementos Clave

• Focos: $F(c, 0)$ y $F'(-c, 0)$. Distancia focal: $2c$.
• Vértices: $A(a, 0)$, $A'(-a, 0)$, $B(0, b)$, $B'(0, -b)$.
• Ejes: Eje mayor $2a$, Eje menor $2b$.
• Excentricidad: $e = c/a$.
• Relación fundamental: $b^2 + c^2 = a^2$.

Ecuación Canónica (Centrada en el origen): $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

Hipérbola

Definición: Lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos focos es constante e igual a $2a$.

Elementos Clave

Los elementos principales son los mismos que en la elipse, además de:

• Asíntotas: $y = \frac{b}{a}x$ e $y = -\frac{b}{a}x$.
• Relación fundamental: $b^2 + a^2 = c^2$.

Ecuación Canónica (Centrada en el origen): $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$

Parábola

Definición: Lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo (foco) y una recta fija (directriz).

Elementos Clave

• Foco (eje Y): $F(0, p/2)$.
• Directriz: $y = -p/2$.

Ecuaciones:

• Si el Vértice es $V(0, 0)$ y abre verticalmente: $x^2 = 2py$.
• Si el Vértice es $V(x_0, y_0)$ y abre verticalmente: $(x - x_0)^2 = 2p(y - y_0)$.

Cálculo de Límites: Eliminación de Indeterminaciones

A continuación, se describen métodos comunes para resolver las indeterminaciones más frecuentes en el cálculo de límites:

1. Indeterminación $\left(\frac{0}{0}\right)$: Se factorizan el numerador y el denominador (usando Ruffini o identidades notables) y se simplifican los factores comunes.
2. Indeterminación $(0 \cdot \infty)$: Se efectúa la multiplicación o se transforma la expresión para que aparezca una indeterminación del tipo $\left(\frac{0}{0}\right)$ o $\left(\frac{\infty}{\infty}\right)$, las cuales ya sabemos eliminar.
3. Indeterminación $(\infty - \infty)$: Si involucra raíces, se multiplica y se divide por el conjugado. Si involucra fracciones, se realiza la resta de fracciones para obtener una única expresión.