Formulario Completo de Probabilidad e Inferencia Estadística

Bloque 2: Distribuciones de Probabilidad y Variables Aleatorias

Parámetros y Distribuciones Discretas

• Esperanza Matemática: E[X] = Σ xᵢ · pᵢ = μₓ
• Varianza: Var[X] = E[X²] - μₓ²
• Desviación Típica: σₓ = √Var[X]
• Distribución de Bernoulli: E[X] = p; Var[X] = q · p
• Distribución Binomial: E[X] = n · p; Var[X] = n · p · q; σₓ = √Var. Fórmula: P(X=k) = (n! / (k! · (n-k)!)) · pᵏ · (1-p)ⁿ⁻ᵏ [donde k = nº de aciertos, n = nº de ensayos].
• Distribución de Poisson: P(X=k) = (e⁻λ · λᵏ) / k!; [donde λ = n · p, e ≈ 2,72]. Propiedad: E[X] = Var[X] = λ.
• Distribución Geométrica: P(X=x) = (qˣ⁻¹) · p; E[X] = 1/p; Var[X] = q/p². Nota: p = m/Sⁿ.

Transformaciones y Distribuciones Continuas

• Transformación Lineal: Si Y = a + bX, entonces: E[Y] = a + b · E[X]; Var[Y] = b² · Var[X]; σᵧ = |b| · σₓ.
• Distribución Uniforme: f(x) = 1 / (b - a); E[X] = (a + b) / 2; Var[X] = (b - a)² / 12.
• Distribución Exponencial: f(x) = λ · e⁻λˣ cuando x > 0; 0 en el resto. Ejemplo: [P(X > 30) = e⁻³⁰/⁴⁰ = e⁻⁰,⁷⁵]. Parámetros: E[X] = 1/λ; Var[X] = 1/λ²; P(X > a) = e⁻λᵃ.
• Distribución Normal: F(X) = (1 / (σ√(2π))) · e^-(1/2)·((x-μ)/σ)².

Ejemplo de Cálculo Integral

Si f(x) = (1 / ln 70) · (1/x) cuando 1 < x < 70:

• Media: 70,1. Cálculo: ∫ x · f(x) dx = 70,1. Específicamente: ∫ x · (1/ln 70) · (1/x) dx = (1/ln 70) · [x] desde 1 a 70 = 69 / ln 70.
• Varianza (σ²): ∫ x² · f(x) dx - media² = (1/ln 70) · ∫ x dx = (1/ln 70) · [x²/2] desde 1 a 70 - media² = (70² - 1) / (2 · ln 70) - (69 / ln 70)².

Variables Bidimensionales

• Covarianza: COV(X,Y) = E[(X - E(X))(Y - E(Y))].
• Fórmula de Cálculo: Sₓᵧ = (Σ xᵢ · yᵢ / n) - μₓ · μᵧ.
• Recta de Regresión: y - μᵧ = (Sₓᵧ / Sₓ²) · (x - μₓ).
• Coeficiente de Correlación: r = Sₓᵧ / (Sₓ · Sᵧ).

Bloque 3: Inferencia Estadística

Inferencia para una Población

Media Poblacional

• Varianza conocida: Intervalo = x̄ ± Z_{α/2} · (σ / √n).
• Error máximo admisible: E = Z_{α/2} · (σ / √n).
• Estadístico de contraste: Z₀ = (x̄ - μ₀) / (σ / √n). Región de rechazo fuera de ± Z_{α/2}.
• Varianza desconocida: Intervalo = x̄ ± t_{α/2, n-1} · (S / √n) (Distribución t-Student).
• Estadístico de contraste: T₀ = (x̄ - μ₀) / (S / √n).

Varianza Poblacional

• Intervalo de Confianza: [(n-1) · S² / χ²_{α/2, n-1}; (n-1) · S² / χ²_{1-α/2, n-1}] (Distribución Ji-cuadrado).
• Contraste de Hipótesis (σ₀): χ²₀ = (n-1) · S² / σ₀². Rechazo si el valor no está entre χ²_{1-α/2, n-1} y χ²_{α/2, n-1}.

Proporciones

• Intervalo: p̂ ± Z_{α/2} · √((p̂(1-p̂)) / n).
• Estadístico de contraste: Z₀ = (n · p̂ - n · p₀) / √(n · p₀(1 - p₀)).
• Determinación del tamaño muestral: Si el error máximo es 0,02: n = (Z_{α/2})² · (1/4) / (0,02)².

Inferencia para dos Poblaciones

Diferencia de Medias

• Varianzas conocidas: (x̄₁ - x̄₂) ± Z_{α/2} · √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂). Estadístico: Z₀ = ((x̄₁ - x̄₂) - Δ₀) / √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂).
• Varianzas iguales y desconocidas: (x̄₁ - x̄₂) ± t_{α/2, n₁+n₂-2} · Sₚ · √(1/n₁ + 1/n₂).
• Desviación ponderada (Sₚ): Sₚ = √(((n₁-1)S₁² + (n₂-1)S₂²) / (n₁ + n₂ - 2)). Estadístico: T₀ = ((x̄₁ - x̄₂) - Δ₀) / (Sₚ · √(1/n₁ + 1/n₂)).
• Varianzas diferentes y desconocidas: (x̄₁ - x̄₂) ± t_{α/2, v} · √(S₁²/n₁ + S₂²/n₂).
• Grados de libertad (v): v = (S₁²/n₁ + S₂²/n₂)² / [((S₁²/n₁)² / (n₁-1)) + ((S₂²/n₂)² / (n₂-1))]. Estadístico: T₀ = ((x̄₁ - x̄₂) - Δ₀) / √(S₁²/n₁ + S₂²/n₂).

Comparación de Varianzas y Proporciones

• Cociente de Varianzas (F-Snedecor): Intervalo = [ (S₁²/S₂²) · F_{1-α/2, n₂-1, n₁-1}; (S₁²/S₂²) · F_{α/2, n₂-1, n₁-1} ].
• Estadístico: F₀ = S₁² / S₂² para probar H₀: σ₁² = σ₂².
• Diferencia de Proporciones: (p̂₁ - p̂₂) ± Z_{α/2} · √(p̂₁(1-p̂₁)/n₁ + p̂₂(1-p̂₂)/n₂).
• Contraste H₀ (p₁ = p₂): Z₀ = (p̂₁ - p̂₂) / √(p̂(1-p̂) · (1/n₁ + 1/n₂)), donde p̂ = (n₁p̂₁ + n₂p̂₂) / (n₁ + n₂).