Formulario Esencial de Álgebra y Operaciones Matemáticas

1. Números racionales: Operaciones

Suma y resta:

(a/b) ± (c/d) = (a·d ± c·b)/(b·d)

Proceso:

1. Buscar el mcm de los denominadores.
2. Convertir a fracciones equivalentes con el mismo denominador.
3. Sumar/restar numeradores.
4. Simplificar.

Multiplicación:

(a/b) · (c/d) = (a·c)/(b·d)

División:

(a/b) ÷ (c/d) = (a/b) · (d/c)

Potenciación:

• (a/b)ⁿ = aⁿ / bⁿ
• (a/b)⁻ⁿ = bⁿ / aⁿ
• (a/b)⁰ = 1

2. Porcentajes

• Cálculo de un t% de q: (t/100) · q
• Aumentar q en t%: q · (1 + t/100)
• Disminuir q en t%: q · (1 - t/100)

3. Ecuaciones de primer grado

Forma general: ax + b = 0

Solución: x = -b/a (si a ≠ 0)

Con dos incógnitas: ax + by = c. La solución presenta infinitas posibilidades; se despeja una variable en función de la otra.

4. Ecuaciones de segundo grado

Forma completa: ax² + bx + c = 0

Fórmula general: x = [-b ± √(b² - 4ac)] / (2a)

Discriminante (δ = b² - 4ac):

• δ > 0: Dos soluciones reales distintas.
• δ = 0: Una solución doble.
• δ < 0: Sin soluciones reales.

Casos particulares:

• ax² + c = 0 → x = ±√(-c/a)
• ax² + bx = 0 → Factor común: x(ax + b) = 0

5. Ecuaciones bicuadradas

Forma: ax⁴ + bx² + c = 0

Proceso:

1. Cambio de variable: t = x²
2. Resolver la ecuación de segundo grado: at² + bt + c = 0
3. Deshacer el cambio: x = ±√t

6. Ecuaciones irracionales

Con raíz cuadrada: √f(x) = g(x)

Proceso:

1. Aislar la raíz.
2. Elevar al cuadrado ambos lados.
3. Resolver la ecuación resultante.
4. Comprobar las soluciones en la ecuación original.

7. Potencias y radicales

Propiedades de potencias:

• aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
• aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
• (aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ
• a⁻ⁿ = 1/aⁿ
• a⁰ = 1

Radicales:

• ⁿ√a = b ⇔ bⁿ = a
• ⁿ√a = a¹/ⁿ
• ⁿ√(aᵐ) = aᵐ/ⁿ

Propiedades de radicales:

• ⁿ√(a·b) = ⁿ√a · ⁿ√b
• ⁿ√(a/b) = ⁿ√a / ⁿ√b
• ᵐ√(ⁿ√a) = ᵐⁿ√a
• (ⁿ√a)ᵐ = ⁿ√(aᵐ)

8. Racionalización

• Denominador con raíz simple: a/√b = (a√b)/b
• Denominador con binomio (a ± √b): Multiplicar numerador y denominador por el conjugado (a ∓ √b).
• Ejemplo: 1/(a + √b) = (a - √b)/(a² - b)

9. Intervalos y conjuntos

• Cerrado: [a, b] → a ≤ x ≤ b
• Abierto: (a, b) → a < x < b
• Semirrecta: [a, ∞) → x ≥ a
• Unión: a ∪ b → Elementos de a o b
• Intersección: a ∩ b → Elementos comunes

10. Identidades notables

• (a + b)² = a² + 2ab + b²
• (a - b)² = a² - 2ab + b²
• (a + b)(a - b) = a² - b²